Bonjour,
Attention tu commets une erreur est inversible si et non pas comme tu le dis

Merci de ta réponse, je me faisais justement la réfléxion en recopiant mon brouillon que quelque chose cloché...
En effet comment être sûr que l'inverse de x avec la formule donnée précédemment appartient à Z[V2]...

Il me semble que mon erreur vient du fait que conj(x)/N(x) appartient à Z[V2] si et seulement si a/N(x) appartient à Z et b/N(x) également, ce qui induit que N(x) divise à et b.
D'ou a²-2b²/a  et a²-2b²/b

Par contre pour en déduire que N(x)=+-1 je ne vois pas trop.

Merci de m'avoir signaler l'erreur, je vais chercher ma faute !
Je suppose que cela va m'aider à résoudre la question 3...

Re-Bonjour,
Si N(x)=1 avec  x>1
(a+bV2)(a-bV2)=1 et a+bV2>1 implique  0<a-bV2 <1 donc a+bV2 +a-bV2 >0 donc a>0 donc a>=1 et donc comme a-bV2 <1
bV2>a-1>=0 donc b>0
Traites le cas où N(x)=-1 avec un raisonnement similaire

Bonjour,

Pour la question 2b, si x est inversible, il existe y tel que xy = 1.
Alors N(xy) = N(x)N(y) = N(1) = 1 et comme N(x) est entier, N(x) = 1 ou -1.

Merci à tous pour vos réponses, j'ai réussi à m'en sortir avec vos idées.

Je suis de nouveau "bloqué" sur une question (enfin pas vraiment mais j'aimerai avoir des avis sur ma façon de répondre).

J'ai donc répondu à :
3.a Montrer que pour tout xU1 a,b>0
3.b Montrer qu'il existe XoU1 tel que U1={Xo^n|nN}

Pour cette question j'ai montrer que min U1 = 1+V2 (enfin "montrer, c'est assez évident avec la question précédente). De plus j'ai montrer la double inclusion des deux ensembles avec X0=1+V2

3.c. Montrer que U est isomorphe au groupe produit Z*Z/2Z

J'ai d'abord montrer que U = {-Xo^k|kZ}{Xo^k'|k'Z}, ceci grâce à des bijections de U1 dans U]0;1[ et une autre dans U positif a U négatif

Ensuite j'ai considéré f(Z*Z/2Z -> U : (x,y) -> (-1)^y (X0)^x), montré qu'elle était injective surjective donc bijective puis que c'était un morphisme de groupe.

4. Montrer que l'équation p²-2q²=1 d'inconnues (p,q)² possède une infinité de solutions et donner leur expression.

C'est là que je bloque, c'est la dernière question de l'exo.
J'ai pensé que cette équation était similaire à l'expression de N(x), cela revient donc à chercher les x tels que N(x) = 1 avec a,b (=p,q) dans N donc x dans U1

Or je sais qu'il existe une infinité d'éléments de U1 vérifiant N(x)=1, car il y a une infinité d'éléments dans U1 et pour tous N(x) = 1 ou -1 et si N(x) =-1 alors x² est dans U1 et N(x²)=1...
Donc je pense que pour montrer qu'il y a une infinité de solution c'est bon, mais pour l'expression de ces solutions....

Merci d'avance

Bonjour,

Expression des solutions est une formulation assez ouverte donc avec le  3 .b  tu t'ens sors .

Je comprends :
N(1+V2)=-1
donc les solutions sont les x=(1+V2)^2k avec k dans Z ?

Bonjour,
Tes solutions sont dans N² donc p et q sont positifs et donc
ainsi il est de la forme avec n
en développant tu trouves  les p et les q.
donc p est la somme des termes d'exposant pair et q celle des exposants impairs

c'est vrai que c'est explicitable, reste à calculer la somme des coefficients du binôme.

Merci pour vos réponses,
cependant j'ai un peu de mal à comprendre comment expliciter mes résultats avec le binome de Newton...

Comme l'a remarqué Domorea, il s'agit de calculer la somme des coefficients du binôme d'indice pair.

Tu utilises la formule du binôme en  (1-1)ⁿ