Bonjour

La composition n'est pas définie en général (et d'ailleurs elle n'est pas distributive). Comment veux-tu composer des fonctions définies uniquement sur I?

La seconde loi est bien la multiplication point par point.

D'accord merci.

2) Montrer que l'ensemble C(I,) des applications continues de I dans est un sous-anneau de ^I.

Tout d'abord, C(I,)^I.
Soient f₁ et f₂C(I,). Alors on a, pour tout aI : lim(f₂)-lim(f₁)=lim(f₂-f₁) quand x tend vers a. Par conséquent, la limite de f₂-f₁ existe bien, donc f₂-f₁C(I,).
De même, lim(f₁).lim(f₂)=lim(f₁.f₂), donc f1.f2C(I,). Par conséquent, C(I,) est bien un sous-anneau de ^I.

3) Les anneaux ^I et C(I,) sont-ils intégres ?

J'aurai eu tendance à dire oui mais comment le montrer ?

Merci d'avance.

Pour le 2), que fais-tu ?

Pour le 3), l'anneau n'est pas intègre. Pourquoi ?

A +

Tu n'as pas besoin de passer par des limites. Ce sont des théorèmes classiques qui affirment la continuité des sommes et produits de fonctions continues.

En revanche, il te manque encore deux vérifications pour affirmer que c 'est un sous-anneau.

Dans mon cour, pour montrer que c'est un sous-anneau, il faut montrer qu'il est stable par soustraction, par multiplication et que l'élément neutre appartient aussi à l'ensemble du sous-anneau. L'élément neutre de ^I pour la loi x est l'application identité : xx, qui est continue sur , donc sur I, par conséquent 1_^IC(I,). Il y a encore besoin d'une autre vérification ?

Pour l'intégrité, je ne vois vraiment pas .

Est-ce que si f(x)g(x) = 0 alors pour tout x, f(x) = 0 ?

Pour la non-intégrité de , considère quelconque, et f définie par f(x) = 1 si x = a et 0 sinon.

L'élément neutre pour la multiplication c'est l'application : x1 ?
Pour l'intégrité je comprends pas. Un anneau est intègre si, pour tout x, f(x)g(x)=0 alors f(x)=0 OU g(x)=0 non ? Dans ce cas en a, si f(x)=1 et g(x)0, comment f(x).g(x) peut-il être égal à 0 ?

Bon, tout de même pour finir avec la démonstration que c'est un sous-anneau, il faut montrer que si y est, alors aussi.

Ou de façon équivalente montrer la "stabilité par soustraction" après avoir montré que la fonction nulle y est.

Je comprends toujours pas pour l'intégrité. Avec votre exemple f(a)=1 et f(x)=0 pour tout xa, et g(a)=0 et g(x)=1 pour tout xa, c'est un exemple qui correspond à la définition de l'intégrité de R^I non ?  Je comprends pas en quoi c'est un contre exemple.

Donc en fait pour les sous-anneaux, il faut que je montre que les éléments neutres de chaque loi interne sont dans l'ensemble du sous-anneau, et que cet ensemble est stable par soustraction et par multiplication, c'est correct ?

Que vaut alors fg ?

Non intègre dit que fg= 0 implique que f = 0 ou g = 0

Soit si pour tout x, on a f(x)g(x) = 0 alors soit f(x) = 0 POUR TOUT x, soit g(x) = 0 POUR TOUT x (ou les 2)

@Dingdong : Tu vois bien que, par définition, les fonctions et ainsi définies (sic) ne sont pas identiquement nulles, alors que la fonction l'est !!!

A +

"Non intègre dit que fg= 0 implique que f = 0 ou g = 0"

Non justement, ça c'est la définition d'un anneau intègre. L'anneau n'est pas intègre si cette implication n'a pas lieu. Ce qui est le cas ici, on a f ≠ 0, g ≠ 0 mais fg = 0.

Je le sais, je lui rappelais juste la définition

Son non était dans le but de me contredire je pense, pas de donner la définition de "non intègre". Dans mon cour, il n'y a pas marqué pour tout x, f(x)=0 ou pour tout x, g(x)=0. En fait, je n'avais pas forcément compris qu'il fallait que dans la définition, f ou g soit nul tout court, merci pour l'éclaircissement en tout cas!

Ah, je n'ai pas fait attention, je croyais que c'était Dingdong qui me donnait la définition d'un anneau non-intègre. Ce topic commence à être encombré (c'est un pu de ma faute...).

Soit une fonction et son ensemble de définition. Soit la fonction nulle. L'on a :



Est-ce clair ?

A +