Bonjour

Si tu as un souci pour comprendre la phrase, c'est parce qu'elle n'a pas vraiment de sens Es-tu sûr de sa formulation?

Ben...
En fait elle s'insère dans le cadre de l'exercice suivant :
E=C() si fE alors g=(f) : x--> de (x-1) à (x+1) f(t)dt.
On nous demande si est un endomorphisme. ( OUI, fait.)
ensuite on nous demande si il est injectif? bijectif?
et c'est là ou je bute.
Merci pour l'aide éventuelle !

D'accord.

Donc tu as un endomorphisme de

On veut savoir s'il est injective. L'idée est de regarder son noyau.

est l'ensemble des f telles que

Là il faut bien saisir la chose. En notant on a donc F identiquement nulle.
On en déduit que sa dérivée l'est aussi. Mais F'(x)=f(x). D'où f est identiquement nulle.
Finalement le noyau est réduit à {0} et on a bien un endomorphisme injectif.

A-t-on la surjectivité? C'est là que la phrase de ton premier post intervient.

Si notre endomorphisme était surjectif, alors pour n'importe quelle application continue g il existerait une application f telle que

Problème : A droite on a une fonction définie par une intégrale donc continue et dérivable. Il suffit alors de prendre une fonction g qui est continue et non dérivable ne serait-ce qu'en un point (prendre g(x)=|x|), elle n'admet pas d'antécédent.

L'endomorphisme n'est pas surjectif (donc pas bijectif par conséquent)

Merci Nightmare,
une petite derniere question : f(x)=sinx n'appartient pas à Ker ??

Pourquoi appartiendrait-il au noyau?

Soit F une primitive de f
(x) = F(x+1)-F(x-1)
et si on calcule les primitives de sinx  en x+1 et x-1 et qu'on fait la diférence on trouve 0
non ?

_(f)(x)

Oui je ne sais pas pourquoi j'ai dit que F'(x)=f(x)
On a bien sûr F'(x)=f(x+1)-f(x-1)

effectivement f est dans ton noyau donc ton application n'est pas injective.

Ok
Merci bien !!
Bonne journée

De même