Bonjour,
C'est un déplacement que tu veux ou un anti ?
Et ce que tu appelles preuve, tu veux qu'on en fasse quoi ?

bonjour

et puis c'est pas clair !

l'hypothèse AA'=BB' ... ce sont des distances ?

et m'étonnerait que la réflexion d'axe (AB) transforme A en B !

Bonjour,

c'est perturbant de ne pas appeler "prime" l'image du point de même nom dans une transformation !
à ce compte là mieux valait les appeler A,B,C,D !!

pour pouvoir parler de la différence entre déplacement et anti-déplacement à mon avis il faut trois points et leurs images !
deux points ne suffisent pas parce que quels que soient le choix des images du moment que c'est une isométrie (que AA'=BB' avec tes notations hum), il y aura toujours les deux : un déplacement et un anti-déplacement.

pour une preuve tout dépend de ce que tu sais sur les caractérisation des isométries et de leurs produits, de ce que tu sais du groupe des isométries et des générateurs de ce groupe : celles qui suffisent à engendrer tous les éléments du groupe

sinon une preuve constructive peut être d'exhiber explicitement la construction d'une "symétrie glissée d'axe et de vecteur (éventuellement nul) que j'ignore"
(une construction qui ne dépend en rien du tout des positions respective des points, donc qui marche dans tous les cas)

Si on cherche g antidéplacement tel que g(A) = B et g(A')=B' alors que AB = A'B' :
Avec s la réflexion d'axe (AA') et s(B) = C et s(B') = C' , on cherche g tel que
g(A) = s(C) et g(A') = s(C') .
En composant à gauche par s , on trouve sog(A) = C et sog(A') = C' .
Ça revient donc à chercher un déplacement f tel que f(A) = C et f(A') = C' .
Il existe unique car AA' = CC' . Voir

Une coquille à la fin de la 1ère ligne : AA' = BB'

ceci dit cela définit cet antidéplacement d'une certaine façon (et il en existe une infinité de telles descriptions, pour ce même antidéplacement)

mais l'intérêt de la chose est de le décomposer en une "symétrie glissée"
c'est à dire la composition d'une symétrie d'axe Δ et d'une translation de vecteur parallèle à Δ

je refuse de mettre une figure car visiblement teyo n'a fait aucune figure de quoi que ce soit vu ce qu'il a osé écrire !
la première chose à faire est donc de faire une figure de ce qu'est une symétrie glissée si on veut avoir des chances de la retrouver connaissant AA'BB'

OK

On peut bien sûr rester dans le pur théorique vu que l'énoncé demande juste l'existence

on peut alors s'appuyer sur l'existence d'un déplacement pour en déduire l'existence d'un anti-déplacement en une demi-ligne de raisonnement (simplification du tien)
reste à prouver l'existence du déplacement ...
et à distinguer les deux transformations, indiscernables avec seulement BB' comme image de AA' (comme déja dit)