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Application C-linéaire de C dans C

Posté par
joaopfg 01-09-18 à 14:51

Bonjour.

Je voudrais savoir pourquoi la unique façon de construire une application C-linéaire de C dans C  est en prennant la multiplication par un numbre complexe.

Merci d'avance.

Posté par
ThierryPomare : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 15:14

Bonjour,

D'une manière générale, soit \K un corps commutatif d'unité 1_{\K}. En tant que 1_{\K}-espace vectoriel, 1_{\K} possède la famille \mathcal{C}=(1_{\K}) comme \K-base canonique. D'autre part, toute application \K-linéaire f:\K\to\K est entièrement et uniquement déterminée par l'image de 1_{\K} par f dans \mathcal{C}. Ce faisant, pour tout x\in\K, il est clair que f(x)=x\,f(1), par \K-linéarité de f.

Tu montreras à titre d'exo qu'une application g:\C\to\C est \C-linéaire si et seulement si g(i)=i\,g(1).

Posté par
ThierryPomare : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 15:15

Erratum,

D'une manière générale, soit \K un corps commutatif d'unité 1_{\K}. En tant que \K-espace vectoriel, \K possède la famille \mathcal{C}=(1_{\K}) comme \K-base canonique. D'autre part, toute application \K-linéaire f:\K\to\K est entièrement et uniquement déterminée par l'image de 1_{\K} par f dans \mathcal{C}. Ce faisant, pour tout x\in\K, il est clair que f(x)=x\,f(1), par \K-linéarité de f.

Tu montreras à titre d'exo qu'une application g:\C\to\C est \C-linéaire si et seulement si g(i)=i\,g(1).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 15:18

Bonjour,
Si f -linéaire, alors k z f(kz) = kf(z) .

Il suffit de remplacer z par ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 15:19

Bonjour ThierryPoma

Posté par
ThierryPomare : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 15:21

Bonjour Sylvieg.

Posté par
joaopfgre : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 15:55

Merci pour la réponse.

J'ai percevu que la affirmation suivante n'est jamais vraie: "Soit g une application C-linéaire de C dans C, existe z en C tel que g(z) est different de kz pour tout k en C". Pour montrer ça, j'ai pensé de la façon suivante: soit z = a + bi, avec a,b en R, on a g(a + bi) = g(a) + g(bi) = ag(1) + ibg(1) = g(1)(a+bi), donc on peut prend k = g(1) pour obtenir g(z) = kz avec k en C. Contradiction.

Est-ce bien de le montrer ainsi?

Posté par
Zrunre : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 16:40

Le raisonnement par l'absurde ici est inutile puisque un raisonnement direct , bien moins tordu à comprendre (même si ici ce n'est pas très dur ), a déjà été proposé dans ce fil
Il faut éviter d'utiliser des raisonnements par l'absurde à tous vents , souvent un raisonnement direct ou par contraposée suffit . Et alors si on n'y arrive pas avec c'est deux types de raisonnements , on passe à l'absurde ...

Posté par
joaopfgre : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 17:07

Ok, c'est compris

Posté par
verdurinre : Application C-linéaire de C dans C 01-09-18 à 22:09

Bonsoir,

Citation :
"Soit g une application C-linéaire de C dans C, existe z en C tel que g(z) est différent de kz pour tout k en C"

Le problème est que démontrer que cette affirmation est fausse revient juste à montrer que « si g est C-linéaire g(0)=0 ».

Posté par
MathinRDre : Application C-linéaire de C dans C 05-06-22 à 16:34

ThierryPoma @ 01-09-2018 à 15:15

Erratum,

D'une manière générale, soit \K un corps commutatif d'unité 1_{\K}. En tant que \K-espace vectoriel, \K possède la famille \mathcal{C}=(1_{\K}) comme \K-base canonique. D'autre part, toute application \K-linéaire f:\K\to\K est entièrement et uniquement déterminée par l'image de 1_{\K} par f dans \mathcal{C}. Ce faisant, pour tout x\in\K, il est clair que f(x)=x\,f(1), par \K-linéarité de f.

Tu montreras à titre d'exo qu'une application g:\C\to\C est \C-linéaire si et seulement si g(i)=i\,g(1).


Auriez vous des pistes pour réaliser l'exercice mentionné ? Une des implications semblent évidentes, ce qui est moins le cas pour l'autre...
"Si g(i)=i\,g(1).
Alors g est une application linéaire"

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Application C-linéaire de C dans C 05-06-22 à 17:41

Bonjour,
Sans autre hypothèse sur g, c'est faux !

Contre exemple :
g définie sur par
g(1) = 5, g(i) =5i, g(z) = 0 si z1 et zi.

g(i) = ig(1) ; mais g n'est pas linéaire car g(2) n'est pas égal à 10.

Posté par
GBZMre : Application C-linéaire de C dans C 05-06-22 à 18:38

Bonjour,

L'hypothèse oubliée est que g est \R-linéaire.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Application C-linéaire de C dans C 05-06-22 à 19:22

Oui


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