Bonjour.
Je voudrais savoir pourquoi la unique façon de construire une application C-linéaire de C dans C est en prennant la multiplication par un numbre complexe.
Merci d'avance.
Bonjour,
D'une manière générale, soit un corps commutatif d'unité
. En tant que
-espace vectoriel,
possède la famille
comme
-base canonique. D'autre part, toute application
-linéaire
est entièrement et uniquement déterminée par l'image de
par
dans
. Ce faisant, pour tout
, il est clair que
, par
-linéarité de
.
Tu montreras à titre d'exo qu'une application est
-linéaire si et seulement si
.
Erratum,
D'une manière générale, soit un corps commutatif d'unité
. En tant que
-espace vectoriel,
possède la famille
comme
-base canonique. D'autre part, toute application
-linéaire
est entièrement et uniquement déterminée par l'image de
par
dans
. Ce faisant, pour tout
, il est clair que
, par
-linéarité de
.
Tu montreras à titre d'exo qu'une application est
-linéaire si et seulement si
.
Merci pour la réponse.
J'ai percevu que la affirmation suivante n'est jamais vraie: "Soit g une application C-linéaire de C dans C, existe z en C tel que g(z) est different de kz pour tout k en C". Pour montrer ça, j'ai pensé de la façon suivante: soit z = a + bi, avec a,b en R, on a g(a + bi) = g(a) + g(bi) = ag(1) + ibg(1) = g(1)(a+bi), donc on peut prend k = g(1) pour obtenir g(z) = kz avec k en C. Contradiction.
Est-ce bien de le montrer ainsi?
Le raisonnement par l'absurde ici est inutile puisque un raisonnement direct , bien moins tordu à comprendre (même si ici ce n'est pas très dur ), a déjà été proposé dans ce fil
Il faut éviter d'utiliser des raisonnements par l'absurde à tous vents , souvent un raisonnement direct ou par contraposée suffit . Et alors si on n'y arrive pas avec c'est deux types de raisonnements , on passe à l'absurde ...
Bonsoir,
Bonjour,
Sans autre hypothèse sur g, c'est faux !
Contre exemple :
g définie sur par
g(1) = 5, g(i) =5i, g(z) = 0 si z1 et z
i.
g(i) = ig(1) ; mais g n'est pas linéaire car g(2) n'est pas égal à 10.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :