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Niveau Maths sup
application C1
Posté par Redman
bonjour
soit g une application C1 définie sur un intervalle ouvert J de IR a valeurs dans IR
On suppose qu'il existe un point x0 fixe par g et qu'en outre -1 <g'(x0) <1
demontrer qu'il existe un voisinage V de x0 tel que g(V) c V (au sens large)
merci
Bonjour,
Indice 1 : g' continue, donc il existe un voisinage V de x0 tel que, pour tout x de V, |g'(x)| < 1
Indice 2 : g(x)-g(x0) = g'(c) (x-x0)
De manière non formelle on a g' contractante (ie k-lipschitzienne et k<1),
donc pour x,y suffisamment proche de x0 (ie il existe tel que pour tout
),
on a , autrement dit |g(x) - g(y)| < |x-y|.
En particulier pour tout , on a |g(x0) - g(y)| < |x0-y|,
ainsi .
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