Bonjour,

Explicitement, qu'est-ce que ca signifie que gof est surjective ?
Pour tout ....

Il me semble que ça signifie que yF x tels que y=f(x) (définition de la surjectivité)

En fait je crois que je ne c'est pas ce que ça veut dire concrètement

x -> y=f(x) -> z=g(y) => z=gof(x) (définition d'une composition de 2 application)

Voila tout ce que je peux dire ...

Ok pour la définition mathématique.
Maintenant moi je veux la définition mathématique de "gof est surjective", ça donne quoi ?

Alors pour moi ça devrait dire ceci

zG yF

ou zG xE

Je n'ai jamais vraiment compris la composition, ça doit se voir, avec le dessin je suis capable de le faire mais le démontrer, je ne comprend pas ...

Allons !
Si f:E->F, g:F->G alors gof:E->G.
Donc dire que gof est surjective signifie que pour tout z dans G, il existe ... ??

(Si tu sais faire le dessin mais la preuve c'est que tu ne comprends vraiment le dessin.)

il existe au moins un x dans E tels que y=g(x)?

Il est passé ou mon z dans G ?
Et non, g ne peut pas prendre des éléments de E, g est définie sur F !

Fais un dessin :

donc pour tout z dans G il existe au moins un y dans F tels que z=g(y)

Ce que tu viens d'écrire c'est : "g est surjective" alors que je te demande : "gof est surjective" !
Pour l'instant, on essaie juste de traduire l'hypothèse de ton énoncé.

gof est surjective sss f est surjective et g est surjective

ça je le sais depuis le début c'est peut être ça que tu attendais ...
donc il suffit que je montre que f et g soit surjective pour démontrer que gof est surjective

Certainement pas !
Tu as relu ton énoncé ? Tu dois justement montrer, par la suite, que ce n'est pas une équivalence !

Ma question est pourtant simple : mathématiquement, traduis moi la phrase "gof est surjective".
Regarde ton cours, remets toi dans notre contexte avec f:E->F, g:F->G, et écrits moi vraiment ce que ça veut dire.

pour tout x dans E , f(x) est dans F donc gof(x) est dans G
Je crois avoir atteint la bonne définition mathématique

la bonne définition mathématique de quoi ?

Par définition, une fonction F:AB est surjective si pour tout b dans B, il existe un élément a dans A tel que F(a)=b.
En d'autres termes, tout élément de B est atteint par la fonction F.

Ma question à moi, c'est : traduis moi le fait que gof soit surjective, par définition, telle que je viens de la donner.

gof surjective -> g surjective

f: E->F
g: F->G
gof: E->G est surjective si pour tout z dans G il existe un élément x dans E tels que gof(x)=z

Ah enfin !
On est d'accord.

Maintenant qu'on a traduit l'énonce en terme mathématique, que faut-il montrer pour arriver à la conclusion "g est surjective" ?

je pense qu'il faut en revenir à la définition de la surjectivité mais pour l'application g
c'est à dire montré que pour n'importe quel z dans G il existe au moins un y dans F tels que z=g(y)

donc que pour n'importe quel z dans g il existe au moins un y dans F tels que z=gof(y)

on pourrais prendre
x=y c'est ce qu'il me semblerais le plus simple.
Si ça ce trouve je me trompe de direction ...

C'est qui x, et c'est qui y ?

y= f(x) serait donc la réponse

Oui !! Ce qui conclut que si gof est surjective alors g est surjective.

Ce n'était pas si compliqué ?! Tout cela avec seulement une définition.

Reste à trouver les "contre exemples" de ton énoncé.
Pour cela, je te conseille de regarde ce que tu peux avec des petits ensembles comme {1,2} et {1,2,3}.

Thanks, merci beaucoup de m'avoir aidé autant de temps, je viens de comprendre tout le principe maintenant, pour le contre exemple, je suivrais ton conseil

De rien, bonne soirée