Bonsoir

Peut être en montrant que T est lipschitzienne ?

Bonsoir lolo5959

Soit f un élément de E.



Cette égalité étant vraie pour tout x, on a
On vient donc de démontré que T était une application linéaire continue (la linéarité est facile à voir) et que sa norme était inférieure à 1. En fait, il y égalité. En effet, en prenant f la fonction constante égale à 1, on montre que c'est atteint.

Voilà

Kaiser

Merci beaucoup pour votre aide Nightmare et kaiser,

--->kaiser
Il y a un p'tit truc que je ne comprends pas: en fait, dans la définition de T(f)(x), on utilise f(t), et tu l'as fait avec f(x), mais de ce fait, tu peux prendre la norme infini de f(x), mais si on prend f(t), on ne peut plus prendre la norme car celle-ci est définie pour les x et non pas pour les t( J'espère que je suis compréhensible ),

voilà, si tu pouvais juste m'éclaircir sur ce petit point.

Merci encore à vous deux

Oui mais c'est pas grave. Que ce soit f(t) ou f(x), on s'en fiche. Tout ce qu'on sait, c'est majore n'importe que valeur prise par f en valeur absolue.

Peut être en montrant que T est lipschitzienne ?
En fait, dans un evn, une application linéaire est continue si et seulement si elle est Lipschitzienne. Donc ca n'aide pas beaucoup

Ok kaiser, je me pose trop de questions, merci beaucoup à toi!

-->otto, je crois que c'est comme ça que kaiser l'a fait: c'est lipschitzienne de rapport 1, en fait( enfin, je pense...)

Merci à tous pour votre aide et bonne soirée

lolo

Oui, mais je répondais à Nightmare.
Montrer la continuité ou montrer le caractère "lipschitz" c'est pareil dans le cas d'une application linéaire.
En fait, on ne dit pas lipschitz, mais on dit que l'application est bornée.
Ici effectivement, la norme est 1, c'est facile à voir, il suffit de prendre f=1.

A+

Mais jke t'en prie

En fait, pour démontrer qu'une application linéaire f est continue, il y a 2 conditions équivalentes :
1)f est lipschitzienne (ce que j'ai à peu près fait sauf que j'ai pas fait f(x)-f(y)
2) f est bornée sur la boule unité.

Dans mon cours, j'ai aussi une 3ème condition équivalente:
f est continue à l'origine

Aussi, oui !