Bonjour,,
Ta question n'a rien à voir avec la diagonalisation.
Pourais-tu écrire l'énoncé exact de ton exercice ?
Dans ce que tu écris, il y a un paramètre dont on ne sait pas s'il est fixé, le terme "suite bornée" interpelle ...
Bref, on a besoin d'y voir plus clair avec l'énoncé exact, tel qu'il t'a été donné.

Voilà

Voilà ,ma préoccupation se trouve à la dernière question

J'avais dit "écrire". Les scans ne sont pas acceptés ici.
Tu pourras aussi écrire les résultats que tu as eu sur les questions précédentes. Ce qu'on a fait sur le début de l'exercicie a une importance pour la fin !

1.
P(n)=n²-n(1-a)+a
∆=(a-1)²≥0  pour tout a dans lR. C'est à dire que p est scindé par conséquent A est trigonalisable.
P(n)=0=> n=1 ou n=a i.e sepc(A)={1,a}
E1={u(u1,u2)/A(u)=u} i.e E1=vec<e1> où e1(1,1)
Ea={u(u1,u2)/A(u)=au} i e  E2=vec<e2> où e2 (1,a)
Maintenant si a=1 on a p(n)=(n-1)² i.e multiplicité de 1 sera 2 or dimE1=1.
Maintenant pour a≠1 on aura dimE1=1,dimE2=1 i.e dimE1+dimE2=dimlR²=2 d'où A est diagonalisable ici .
2.

Une coquille dans l'écriture du polynôme caractéristique.
Tu as tout ce qu'il faut pour trouver une base de vecteurs propres, et la matrice de changement de base correspondante.
À partir de l'écriture , on calcule facilement .
Pour les suites bornées, il faut discuter suivant la valeur de .