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Application distance

Posté par
Abrass 27-01-20 à 23:48

Bonsoir,
Soit (X,d) un espace métrique compact et f une application de X dans X, on suppose que x X : f2(x) x, où f2=fof.
(a) Montrer que sur XX, l'application distance est: uniformément continue,  bornée et atteint ses bornes.

Posté par
LeHiboure : Application distance 28-01-20 à 00:27

Bonsoir,

On ne sait vraiment rien de plus sur f ?

Posté par
Abrassre : Application distance 28-01-20 à 02:43

f est une application continue de X dans X.

Posté par
luzakre : Application distance 28-01-20 à 08:42

Bonjour !
Tu ne poses aucune question sur f !
Il manque en revanche la distance qu'on utilisera sur le produit X\times X pour parler de continuité : je suppose qu'on utilise UNE des distances-produit usuelles, par exemple \delta((x,x'),(y,y'))=\max(d(x,y),d(x',y')) et, dans ce cas,
(X\times X,\delta) est lui aussi compact  et  \delta : ((x,x'),(y,y'))\mapsto \delta((x,x'),(y,y')) est continue (et même 1-lipschitzienne).
Il suffit d'appliquer les propriétés usuelles d'une fonction continue sur un compact.

Posté par
Ebenezerre : Application distance 29-01-20 à 04:32

Merci pour votre reponse. Mais ce qui me fatigue, c'est de demontrer que la distance isuelle utilisée est 1-lipschitzienne. Je voudrais savoir, comment est ce qu'on pourrait le demontrer.

Posté par
luzakre : Application distance 29-01-20 à 07:56

En utilisant l'inégalité du triangle :
en notant u,v,w des éléments de X\times X tu as
|\delta(u,w)-\delta(v,w)|\leq \delta(u,v)
C'est vrai en fait pour TOUTE distance, pas seulement une distance usuelle.


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