Bonsoir à tous,
Je bloque vraiment sur ça.
On considère l'ensemble (C([0,1];R) , d[0,1]).
Pourquoi A1 = {f:[0,1]-> R continue sur [0,1] et sup |f(x)|<=1 } (sup sur [0,1]) n'est pas relativement compact et A2 = {f:[0,1]-> R polynôme sur [0,1] et sup |f(x)|<=1 } est relativement compact ?
Bonjour.
Il doit y avoir un problème dans ton énoncé, car même n'est pas relativement compact. (la distance que tu notes
, c'est bien la distance définie par
?)
Pour le voir, considère la suite définie par .
Elle appartient à (et donc à
), et on ne peut en extraire aucune sous-suite convergeant uniformément.
D'accord, j'ai fait une erreur, bon j'ai compris pourquoi A2 n'est pas relativement compact et avec le même exemple A1 non plus. Est-ce que ça devient relativement compact si cette fois on ajoute que les polynômes sont de degrés <= N ?
Si l'on rajoute cette condition sur le degré, alors l'ensemble devient relativement compact.
Je note l'ensemble des fonctions
polynomiales de degré
, et pour
définie par
, je note
.
Montre qu'il existe une constante telle que pour tout
,
. (utilise l'équivalence des normes en dimension finie)
Déduis que toutes les fonctions de sont lipschiztiennes, avec la même constante de Lipschitz.
Déduis du théorème d'Ascoli que est relativement compact.
Une manière plus élémentaire de procéder, sans utiliser le théorème d'Ascoli, consiste à remarquer que muni de la norme
est un espace vectoriel normé de dimension finie.
Les parties relativement compactes sont donc les parties bornées, et est bornée par définition même.
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