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Application du théorème d'Ascoli

Posté par
Coup
17-10-10 à 00:35

Bonsoir à tous,

Je bloque vraiment sur ça.
On considère l'ensemble (C([0,1];R) , d[0,1]).
Pourquoi A1 = {f:[0,1]-> R continue sur [0,1] et sup |f(x)|<=1 } (sup sur [0,1]) n'est pas relativement compact et A2 = {f:[0,1]-> R polynôme sur [0,1] et sup |f(x)|<=1 } est relativement compact ?

Posté par
Arkhnor
re : Application du théorème d'Ascoli 17-10-10 à 09:24

Bonjour.

Il doit y avoir un problème dans ton énoncé, car même A_2 n'est pas relativement compact. (la distance que tu notes d[0,1], c'est bien la distance définie par d(f,g) = \sup_{x \in [0,1]} \, |f(x) - g(x)| ?)

Pour le voir, considère la suite définie par f_n(x) = x^n.
Elle appartient à A_2 (et donc à A_1), et on ne peut en extraire aucune sous-suite convergeant uniformément.

Posté par
Coup
re : Application du théorème d'Ascoli 17-10-10 à 11:58

D'accord, j'ai fait une erreur, bon j'ai compris pourquoi A2 n'est pas relativement compact et avec le même exemple A1 non plus. Est-ce que ça devient relativement compact si cette fois on ajoute que les polynômes sont de degrés <= N ?

Posté par
Arkhnor
re : Application du théorème d'Ascoli 17-10-10 à 14:56

Si l'on rajoute cette condition sur le degré, alors l'ensemble devient relativement compact.

Je note \mathcal{P}_N l'ensemble des fonctions f : \[0,1] \to \mathbb{R} polynomiales de degré \le N, et pour f \in \mathcal{P}_N définie par f(x) = \Bigsum_{k = 0}^N a_k x^k, je note ||f||_1 = \Bigsum_{k=0}^N |a_k|.

Montre qu'il existe une constante C_N telle que pour tout f \in \mathcal{P}_N, ||f||_1 \le C_N \, \sup_{x\in [0,1]} \, |f(x)|. (utilise l'équivalence des normes en dimension finie)

Déduis que toutes les fonctions de A_N = \{f \in \mathcal{P}_N \, / \, \sup_{x \in [0,1]} \, |f(x)| \le 1\} sont lipschiztiennes, avec la même constante de Lipschitz.

Déduis du théorème d'Ascoli que A_N est relativement compact.

Posté par
Arkhnor
re : Application du théorème d'Ascoli 17-10-10 à 15:13

Une manière plus élémentaire de procéder, sans utiliser le théorème d'Ascoli, consiste à remarquer que \mathcal{P}_N muni de la norme ||f|| = \sup_{x \in [0,1]} \, |f(x)| est un espace vectoriel normé de dimension finie.
Les parties relativement compactes sont donc les parties bornées, et A_N est bornée par définition même.

Posté par
Coup
re : Application du théorème d'Ascoli 17-10-10 à 21:06

Merci beaucoup Arkhnor !!!



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