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application du théorème des accroissements finis.
Bonjour à tous,
Je ne suis pas du tout sûr que ce que j'ai écrit est ce qui est attendu...
Soit f: IR+-> IR une f° dérivable telle que lim en +OO de f'(x)= l
On veut montrer que lim en OO de f(x)/x =l
Pour cela on suit la méthode suivante: Soit E>0 (epsilon) fixé...
a) Trouver a>0 tel que pour x>a,
| (f(x)-f(a)) / (x-a) -l | < E
b) montrer que f(x)/x - (f(x)-f(a)) / (x-a) = f(a)/x - a/x .(f(x)-f(a)) / (x-a)
En déduire qu'il existe K>0 tel que pour x>a, on ait:
|f(x)/x -(f(x)-f(a)) / (x-a) | <= K/x
c) conclure
d) pour la fonction f(x)= x+ sqrt(x) sinx étudier les limites éventuelles en +oo des fonctions x-> f(x)/x et x->f'(x) . Que peut-on en conclure?
Je vous livre mon travail.
a) on a :
=l
Est-ce que j'ai bien le droit d'écrire cela?
Donc pour tout E>0, il existe M dans IR+, il existe 
>0 tel que
a>M et x dans ]a,a+ [ implique
|(f(x)-f(a)) / (x-a) -l| <= E
J'ai juste utilisé les définitions des limites...
b) ok ...
En utilisant le a)
pour tout E>0, il existe M dans IR+, il existe >0 tel que
a>M et x dans ]a,a+ [ implique
|(f(x)-f(a)) / (x-a) -l| <= E
ie (f(x)-f(a)) / (x-a) <= l+ E
donc dans ces conditions,
|f(x)/x - (f(x)-f(a)) / (x-a)| <= 1/x ( |f(a) + |a(l+E| ) (en utilisant l'égalité indiquée au début de la question)
or il y a K>0, tq |f(a) + |a(l+E| <= K
CPEQFD (c'est peut-être ce qu'il fallait démontrer 
)
c) Et en posant E= K/x qui tend vers 0 par au-dessus, on a:
| f(x)/x- (f(x)-f(a)) / (x-a) |< E
on a donc que
ie si f:IR+->IR est une fonction dérivable
lim en +OO de f'(x)=l ssi lim en +OO de f(x)/x =l
d) Je suis un peu perdu.
f(x)/x -> 1 en +OO et j'ai du mal à trouver la lim de f'(x). Je suppose donc qu'on veut me faire dire que l'on est bien dans les conditions du a)
f:IR+->IR dérivable.
Et donc lim de f'(x) =1
Que peut-on en conclure ?? Quelque chose de plus que ce que j'ai dit?
Bonjour f'(x)=1+racine(x)cosx+(sinx)/(2racine(x)).
Si tu prend xn=2pi*n,xn tend vers l'infini et f'(xn) tend vers l'infini quand n tend vers l'infini donc f'(x) ne tend pas vers 1 en l'infini.Cela montre que la reciproque du theoreme est fausse.
Oui je te l'ai montre c'est un contre exemple pour montrer que la reciproque n'est pas toujours verifiee.
Je voulais vous demander aussi en quoi c'est en rapport avec le théorème des accroissements finis. :-/
J'ai eu le vague sentiment de passer un peu à côté de l'exo parce que je ne voyais pas du tout le rapport
Si tu prend xn=2pi*n,xn tend vers l'infini et f'(xn) tend vers l'infini quand n tend vers l'infini donc f'(x) ne tend pas vers 1 en l'infini.
J'ai posé une suite Un= 2pi*n -> +oo en +oo
Si je comprends bien,
cosUn -> 1
et sinUn -> 0 c'est ça?
Est-ce que l'indéfinition est levée du fait que l'on travaille sur les entiers et plus sur les réels? Je suis toujours un peu gêné aux entournures quand je travaille sur les limites. Je ne suis jamais trop sûr de ce que j'ai le droit de faire ou pas.
Bonsoir à tous
En fait, on aurait pu utiliser le théorème des accroissements finis à la première question.
Kaiser
Pour la 1) tu aurais pu utiliser le theoreme des accroissements finis en encadrant la derivee de f par l+eps et l-eps a partir d'un certain rang a en utilisant la limite de f'.J'ai l'impression que dans ta demo tu ne prouves pas l'inegalite pour tout x >a.
héhé je me disais aussi !
Peux-tu m'aider à trouver la bonne approche alors?
Et est-ce que ce que j'ai écrit est correct?
Si f'(x) tendait vers 1 quand x tend vers l'infini alors pour toute suite tendant vers l'infini on aurait f'(xn) qui tend vers 1 or ici ce n'est pas vrai.
On se fixe . Comme f'(x) tend vers l en l'infini on a donc :
tq
implique
. Donc si on applique les accroissements finis sur [A,x] on a :
tel que
. On a
donc
. On en deduit
.
Je ne comprends pas bien le raisonnement.
Où est la condition sur le a ? Est-ce que l'intervalle à considérer n'est pas plutôt [a,x] avec a>A ?
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