Bonjour quentoune

On n'a pas vraiment le choix : il faudrait l'appliquer à une fonction et la seule fonction qui intervient est l'exponentielle, donc ...

Kaiser

f(x) = e^x

f '(x) = e^x
f ''(x) = e^x
...

Quel que soit l'ordre de la dérivée, on trouve "e^x"

f(0) = f'(0) = f''(0) = ... = e^0 = 1

Et donc :
f(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + x^n/n! + ...

Soit
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Sauf distraction.  

Salut J-P et bonne année !

Je ne comprends pas ton raisonnement.
Pourrais-tu me l'expliquer s'il te plaît ?

Kaiser

Moi non plus je ne comprends pas trop, elle la limite on en fait quoi ?!!

merci

Salut kaiser.

Développement classique en série de Taylor et plus précisément de Mac-Laurin (puisque on le fait en 0)

Je recopie des extraits de mon livre de chevet:
"Calcul différentiel et intégral" de N Piskounov.

Développement classique en série de Taylor et plus précisément de Mac-Laurin (puisque on le fait en 0)

On arrive à:

e^x = 1 + x/1 + x²/2! + ... + x^1/n! + [x^(n+1)/(n+1)!].e^(theta.x) (avec 0 < theta < 1)

Rn = x^(n+1)/(n+1)! et donc quel que soit x, lim(x-> +oo) Rn = 0
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Une fonction f(x) possédant des dérivées jusqu'au (n+1)-ième ordre inclus au voisinage du point x = a (c'est à dire dans un intervvalle contenant le point x = a) admettait dans ce voisinage le développement suivant de Taylor :

f(x) = f(a) + ((x-a)/1).f'(a) + ((x-a)²/2!).f''(a) + ... + ((x-a)^n/n!).f^n(a) + Rn(x) où le reste R(x) est calculé suivant la formule Rn = ((x-a)^(n+1))/(n+1)!.f^(n+1).[a+theta(x-a)] , avec 0 < theta < 1.

Si la formule est indéfiniment dérivable au voisinage du point x=a, on pourra prendre n arbitrairement grand dans la formule de Taylor. Et si le reste Rn tende vers 0 dans le domaine considéré morsque n -> oo: lim(n->oo) Rn = 0

Pas le courage de tout écrire.

Mais il conclut en disant que dans le cas particulier de a = 0:

f(x) = f(0) + x/1.f'(0) + (x²/2!) f''(0) + ... +(x^n/n!).f^n(0) + ...

Et que comme Rn a été démontré tendre vers 0 lorsque n -> oo, f(x) = f(0) + x/1.f'(0) + (x²/2!) f''(0) + ... +(x^n/n!).f^n(0) + ... converge bien vers e^x pour tout valeur de x.
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J'ai peut être bien écorché N.Piskounov à l'un ou l'autre des endroits que je me suis permis d'abréger.

OK, merci !
En fait, tu viens d'écrire juste ce qui manquait (ton premier message prêtait à confusion et tu semblais admettre le résultat ce qui me paraissait étrange )

Kaiser

merci pour ces éclaicissements