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Application entre deux espaces normés (continuité..)
Soit X := {C^1 ([0,1], 
)} muni de la norme du sup ||.||
Soit Y := { u 
C^1 ([0,1], ) ; u(0) = u'(0) = 0} ||u||Y =||u'||
On définit, pour tout u X,
Tu(x) := 
[0,x] (x-t)u(t) dt (x[0,1])
1) Montrer que l'application T : X 
Y est bien définie
2) Montrer que T : (X, ||.||) (Y,||.||Y) est continue
3) Déterminer ||T||L(X,Y)
1) Y'a t-il un moyen plus de simple, autre que de poser v = Tu(x) et montrer que v Y 
u X ?
Parce que j'ai du mal à le faire de cette façon. Il faudrait montrer que v C^1 ([0,1],) et que v(0) = v'(0) = 0
Comme v = Tu et que u C^1 ([0,1],), alors son image par T appartient à C^1 ([0,1],) ? mais comment le justifier ?
et ensuite, Tu(x) (0) = (Tu(x))' (0) = 0, j'arrive pas à le montrer.
2) T : (X, ||.||) (Y,||.||Y) est continue 
||Tf||Y 
C||f||
Comme||u||Y =||u'||, cela nous donne ||(Tf)'|| C||f||
Il faut donc montrer cette inégalité pour prouver la continuité de T, je ne vois pas bien comment le faire.
Merci pour votre aide.
Bonjour wuksey.
Il faut procéder par ordre.
La première chose à dire est que est continue sur
pour tout
.
Comme , alors
est continue, donc intégrable sur
et ce pour tout
.
Par suite, existe pour tout
.
Il est clair que .
Ensuite,
Donc (niveau terminale), est dérivable et
et donc
.
Conclusion : et T est bien définie.
Il y a une chose qui doit être vérifiée avant tout, c'est que définit bien une norme sur Y.
C'est pas compliqué, mais il faut s'en assurer.
2- Vu que tu sais maintenant que pour tout , il me semble quasi évident de montrer que
On a ||(Tf)'|| <= [0,x] ||f(t)|| dt <= ||f(t)|| car x [0,1] ( Je ne suis pas sûr de bien comprendre ça).
Il y a une chose qui doit être vérifiée avant tout, c'est que définit bien une norme sur Y.
C'est pas compliqué, mais il faut s'en assurer.
Rien ne t'échappe ! C'était une question posée dans l'examen, je l'ai pas remise dans le post pour l'alléger au maximum
Oui c'est ça; c'est tout bête ... je ne vois ce qui te gêne !?
Je l'ai deviné en testant avec une fonction au hasard mais cela ne me paraît pas intuitif
. Une explication "visuelle" ? Rien ne t'échappe !
Heu si, je te rassure, y'a beaucoup de choses qui m'échappent
mais merci pour le compliment !
Une explication "visuelle" ?
Bah pas vraiment ! si ce n'est que le sup infini de Tf' est inférieur au sup infini de f ... ce qui enfonce les portes ouvertes et prendre deux trois exemples concrets me parait plus fort que n'importe quelle explication.
Sinon, pour la 3- quoi d'neuf docteur ?
Mais comme on vient de montrer que ||(Tu)'|| est majoré par ||u||, son sup est égal à ||u|| qui vaut 1 ?
Ah non ! tu peux très bien avoir et effectivement
par exemple.
Il faut juste écrire les choses :
Et prendre la fonction constante 1 dans X suffit pour affirmer que le sup est atteint et
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