Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Application entre ensembles denses dans E et dénombrable
Bonjour,
Je me pose une question, si l'on se donne deux ensembles dénombrables A et B denses dans R. Est-ce que l'on peut compléter toute application f: A->B en une application continue de R dans R, c'est à dire est-ce qu'il existe une fonction continue définie sur R dont la restriction à A donne exactement f ?
Intuitivement je pense que oui, il ne reste plus qu'à "relier" les points du graphe de f, mais je ne vois pas vraiment comment le montrer. Peut-être par l'absurde, mais je ne sais pas par où commencer.
Merci pour votre aide !
Bonjour,
La réponse est clairement non.
Tu peux facilement trouver une application de \ dans
qu'on ne peut pas prolonger continûment à
.
Hmm, je suis navré je ne vois pas vraiment. Quelque chose comme p/q->1/q pourrait convenir ?
Je dois en fait résoudre l'exercice suivant :
Soient A et B deux ensembles dénombrables et denses de R . Montrer qu'il existe un homéomorphisme de R sur R tel que h(A)=B.
Puisque A et B sont équipotent car dénombrable, je pensais qu'en considérant une bijection f entre A et B, on pouvait la prolonger par continuité sur R. Mais si cela n'est pas vérifié pour certaines fonction il va falloir creuser ailleurs ... Si vous avez une piste je ne suis pas contre !
Ah, là c'est différent !
Pourquoi n'as tu pas posé ton vrai problème tout de suite ?
Tu peux construire un isomorphisme pour l'ordre entre A et B (c'est le théorème de Cantor que tu peux voir ici 
.
Après, ça s'étend à un homéomorphisme de sur lui-même en voyant les éléments de
qui ne sont pas dans A (resp. B) comme des coupures dans A (resp. B).
L'idée est donc de construire une bijection strictement monotone entre A et B en reprenant la démonstration du théorème de Cantor pour l'ordre, puis de traiter les « trous » de A en les associants à des trous de B ? Si je vois comment construire la première bijection, comment traiter les coupures de A (ou B) exactement ?
Un réel qui n'est pas dans A définit une coupure dans A : deux parties non vides L et U de A, complémentaires dans A, telles que tout élément de L est strictement plus petit que tout élément de U, et telles que L n'a pas de plus grand élément et U n'a pas de plus petit élément.
Réciproquement, une telle coupure dans A détermine un unique réel : sup(L)=inf(U).
Vois-tu mieux avec ça ?
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac