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Application et borne sup.

Posté par
H_aldnoer 20-11-05 à 21:17

Bonsoir,

voici un autre probleme :
   \rm f: [a,b] \to \mathbb{R}
On a :
   \rm sup_{a<x<b} f(x) \le sup_{a\le x\le b} f(x)

On donne \rm f(x_0)= sup_{a\le x\le b} f(x) avec \rm x_0\in [a,b] :
montrer que \rm f(x_0)= sup_{a< x< b} f(x) en distinguant les cas \rm x_0\in ]a,b[, x_0=a et x_0=b en considérant la suite \rm a_n=a+\frac{1}{n} et étudiant \rm (f(a_n))_n pour le cas \rm x_0=a

J'ai ceci :
   \rm \lim_{n\to+\infty} a_n=a
Donc :
   \rm \lim_{n\to+\infty} f(a_n)=f(a)
mais je ne vois pas comment arriver au résultat

pouvez vous m'aidez ?

Posté par biondo (invité)re : Application et borne sup. 21-11-05 à 00:42

Bonsoir,

Je suppose que f est continue....

Cas x0 = a:

Supposons que supa<x<bf(x) < f(a)
Dans ce cas, en posant e = 1/2.(f(a) - supa<x<bf(x)), on sait que il existe un eniter naturel N tel que si n>N, |f(an) - f(a)| < e

Donc, comme f(an) - f(a) <0,

f(an) > f(a) - e, pour n > N

or f(a) -e > supa<x<bf(x) d'apres le choix de e.

Mais an est compris strictement entre a et b, ce n'est pas top au vu de la definition d'une borne superieure...

L'hypothese est absurde, et supa<x<bf(x) = f(a).


Raisonnement identique en b.

Sauf erreur

A+
biondo


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