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Application et matrices

Posté par
Atepadene 10-07-23 à 22:46

Bonjour je me permet de demander de l'aide sur un exo d'oral que j'ai trouvé sur une banque d'7un concours PC:
Soit $A\in C^0(\mathbb(R),M_n(\mathbb(R))$ tel que
$A(0)=A(1)=I_n$ et $\forall (s,t)\in \mathbb(R)^2, A(s+t)=A(s)A(t)$
1. Trouver des exemples.
2. Montrer que ces exemples sont les seuls qui marchent.

1. La fonction qui a x donne $I_n$ est la seule qui m'est venue à l'esprit, je n'ai pas cherché beaucoup plus loin
2. Avant de commencer le raisonnement, j'ai essayé de regarder un peu ce qu'on pouvait dire de A:
$\forall x \in \mathbb(R) , \forall n \in \mathbb(N) A(x+n) = A(x)$ .
On en tire que tous les éléments de N donne l'identité par A. Après ça j'ai essayé de faire un raisonnement par l'absurde mais je ne sais ps où aller.
Merci d'avance

Posté par re : Application et matrices 11-07-23 à 00:47

Bonsoir

$\boxed{1}$ Un exemple pour $n=2$ : $\Large\boxed{A~:~x\mapsto \left[\begin{array}{cc}\cos(2\pi x)&-\sin(2\pi x)\\\sin(2\pi x)&\cos(2\pi x)\end{array}\right]}$

Posté par re : Application et matrices 11-07-23 à 15:38

$\boxed{2}$ Un plan d'étude possible :

il n'est pas difficile d'établir que $\Large\boxed{A~:~\left(\mathbb R,+\right)\to\left(GL_n(\mathbb R),\times\right)}$ est un morphisme de groupe.

son noyau $\ker A$ étant un sous-groupe du groupe réel additif $\left(\mathbb R,+\right)$ est soit discret soit dense,

$\bullet$ s'il est dense la continuité de $A$ donne $A(x)=I_n$ pour tout réel $x$ ,

$\bullet$ s'il est discret, comme $1\in\ker A$ , on a $\ker A=a\mathbb Z$ avec $a=\frac{1}{q}$ pour un certain $q\in\mathbb N^*$

des exemples pour ce cas sont les applications $x\mapsto A(x)$ où $A(x)$ est une matrice diagonale par blocs de $\mathcal M_n(\mathbb R)$

dont les blocs diagonaux sont des $1$ ou des blocs de taille $2$ de la forme $\left[\begin{array}{cc}\cos(2\pi qx)&-\sin(2\pi qx)\\\sin(2\pi qx)&\cos(2\pi qx)\end{array}\right]$

comme par exemple (pour $n=5$ ) le morphisme $x\mapsto A(x)=\left[\begin{array}{ccccc}\cos(4\pi x)&-\sin(4\pi x)&0&0&0\\\sin(4\pi x)&\cos(4\pi x)&0&0&0\\0&0&\cos(8\pi x)&-\sin(8\pi x)&0\\0&0&\sin(8\pi x)&\cos(8\pi x)&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right]$

dont la noyau est $\frac{1}{2}\mathbb Z$ ...

Posté par re : Application et matrices 13-07-23 à 18:20

La réponse précédente est excellente... mais elle totalement hors du programme de PC !!
Les groupes et morphismes de groupes ne sont pas dans le programme de cette classe.
Les matrices de rotation sont tout juste évoquées.

Bref, j'espère que ce n'est pas un oral donné cette année car il y a vraiment de quoi râler.

Posté par re : Application et matrices 15-07-23 à 00:00

Bonjour,

Il me semble que l'on peut s'en sortir sans utiliser ces notions pour répondre à la question 2).

Il faut montrer que :
* Toutes les matrices qui vérifient les contraintes commutent entre elles
* Les A sont toutes inversibles
* A est 1-périodique
* Si A appartient à l'ensemble recherché, alors sa transposée également
* Et donc A^t.A également appartient à cet ensemble

D'après les conjectures, l'idée serait de montrer que A(x)^t.A(x)=I pour tout x dans [0,1] et que det(A(x))=1.

* Il faudrait montrer que B(x)=A(x)^t.A(x) vérifie les contraintes et est continue . Et que les B(x) sont diagonalisables dans une base orthonormée : B(x)=P(x)^t.D(x).P(x).
* Regarder les cas particuliers B(1/2ⁿ)
* Conclure en utilisant la continuité, pour tout x dans [0,1]
* Par ailleurs, il faut vérifier que le déterminant vaut toujours +1 (reprendre l'idée des 1/2^n).

Je pense que ces jalons permettent de conclure.

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