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Niveau Licence Maths 1e ann
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Application ( injection, subjection, bijection )

Posté par
MarcelPatulacci
23-11-13 à 21:52

Bonsoir bonsoir,

j'éprouve le besoin de partager mon problème et de voir si ce que j'ai pu écrire peut aboutir à ce que j'aimerais montrer.

Soit f:E -> F ( avec x un élément de l'ensemble de départ E et y un élément de l'ensemble d'arrivé F )

1) f est injective si et seulement si:
quelque soit y appartenant à F, y a au plus un antécédent ( c'est-à-dire, f-1({y}) est soit vide soit contient un élément ) (f-1, l'image réciproque )

Je dois donc montrer que cette phrase est une autre façon de définir si la correspondance f est injective.
Je suis donc revenu à la définition de mon cours, qui est :
quelque soit x et x' appartenant à E, f(x)=f(x') <=> x=x'

J'ai donc écrit que la phrase mathématique juste au-dessus revient à écrire :
quelque soit y appartenant à F, y=f(x) <=> x=f-1(y)

Et que donc, quelque soit y appartenant à F, y a un antécédent dans E.
J'ai un gros doute sur ce que j'ai écrit, mais j'ai besoin d'aide pour avancer. J'ai encore deux autres choses à demander, mais procédons étapes par étapes.

Posté par
Bachstelze
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 21:56

On suppose que f^{-1}(\{y\}) contient au moins deux éléments x, x'. On a donc x\ne x' et f(x) = f(x') = y.

Posté par
ThierryPoma
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 22:05

Bonsoir,

Supposons f injective. La corestriction de f à f(E) étant bijective, il est clair que la fibre f^{-1}(\{y\}), pour y\in f(E), est un singleton. Sinon, l'on a f^{-1}(\{y\})=\emptyset pour tout y\in F-f(E). Réciproquement, ...

Thierry

Posté par
MarcelPatulacci
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 22:34

Merci de vos réponses.

Ta réponse Thierry, j'ai clairement du mal à la comprendre. Je commence en première année, donc les maths purs c'est vraiment un pas pour moi, contrairement aux simples calculs du tronc commun...

En revanche, la première réponse :
On suppose que f^{-1}(\{y\}) contient au moins deux éléments x, x'. On a donc x\ne x' et f(x) = f(x') = y.
m'est déjà plus accessible.

Je bloque quand même sur le fait que, y doit avoir au plus un antécédent, et que là, on a : f(x)=f(x')=y avec x différent de x' ?
La définition de départ, dit bien que f(x)=f(x') <=> x=x'
D'accord on a supposé que f^{-1}(\{y\}) contient au moins deux éléments, mais je fais pas le liens.

Posté par
Bachstelze
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 22:40

Je montre que si f est injective (au sens de la définition que tu as), alors y admet au plus un antécédent, par contraposée en montrant que s'il en admet plus d'un, alors f n'est pas injective.

Posté par
MarcelPatulacci
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 22:58

Mais bien sûr, la contraposée.
Nous sommes bien d'accord, qu'avec l'hypothèse émise, x différent de x' et f(x)=f(x')= y ce n'est pas cohérent ?

Posté par
Bachstelze
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 23:00

Bah non puisque l'hypothèse dit que si f(x) = f(x'), alors x = x'.

Posté par
MarcelPatulacci
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 23:07

Ben... si la définition dit f(x) = f(x'), alors x = x' ok f est injéctive
En revanche, si x est différent de x' ET qu'on a f(x)=f(x') , ce n'est pas cohérent donc non-injéctive ?

Posté par
Bachstelze
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 23:09

Oui, "A et non B" est évidemment la négation de "A implique B"...

Posté par
MarcelPatulacci
re : Application ( injection, subjection, bijection ) 23-11-13 à 23:14

Oui oui, c'est ça.
Je te remercie pour ton aide.



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