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Application injective

Posté par
termina123 25-09-21 à 22:42

Bonsoir
Je veux montrer que toute partie de \mathbb{R} contenant un intervalle ouvert non vide est en bijection avec \mathbb{R}. Je veux utiliser le théorème de Cantor-Bernstein

Soit A\subset \mathbb{R} telle que ]a,b[ \subset A,\; a<b
L'application f:x\in A \mapsto x\in \mathbb{R} est injective car A\subset \mathbb{R}. Il existe une injection de A dans \mathbb{R}

J'ai aussi l'injection suivante f:x\in ]a,b[ \mapsto x\in A mais j'arrive pas à trouver ou montrer l'existence d'une injection de \mathbb{R} dans ]a,b[

Posté par
Zormuchere : Application injective 25-09-21 à 23:07

Bonjour

Il existe une fonction bijective "évidente" entre ]-pi/2,pi/2[ et R

Posté par
termina123re : Application injective 25-09-21 à 23:23

Bonsoir Zormuche
oui arctan j'y ai pensé donc cela fonctionnerait ?
f:\left\lbrace\begin{matrix} \mathbb{R} \rightarrow ]a,b[\\ x \mapsto max(|a|,|b|)*\dfrac{2arctan(x)}{\pi} \end{matrix}\right.

Posté par
Zormuchere : Application injective 25-09-21 à 23:33

Je dirais plutôt :

f : \begin{array}{rcl} \R & \rightarrow & ]a,b[ \\ x & \mapsto & |b-a| \times \dfrac{\arctan(x)}{\pi}+\dfrac{a+b}{2}\end{array}

Posté par
termina123re : Application injective 26-09-21 à 00:02

ah ouais c'est exactement ce qu'il faut, merci !

Posté par
carpediemre : Application injective 26-09-21 à 00:19

salut

termina123 @ 25-09-2021 à 22:42

Je veux utiliser le théorème de Cantor-Bernstein  pourquoi ?

toute fonction affine est bijective sur R

il est donc aisé de déterminer une bijection f de ]a, b[ dans ]c, d[ pour tous a, b, c et d

la plus simple est la fonction affine telle que f(a) = c et f(b) = d (mais on pourrait trouver une infinité de polynomes de degré n (pour tout n > 0) qui conviennent)

la composée de deux bijections est une bijection

il suffit alors de composer avec la fonction arctan ...

je ne comprends donc pas ces valeurs absolues ...

termina123 @ 25-09-2021 à 22:42

Soit A\subset \mathbb{R} telle que ]a,b[ \subset A,\; a<b
L'application f:x\in A \mapsto x\in \mathbb{R} est injective car A\subset \mathbb{R}. Il existe une injection de A dans \mathbb{R}

J'ai aussi l'injection suivante f:x\in ]a,b[ \mapsto x\in A mais j'arrive pas à trouver ou montrer l'existence d'une injection de \mathbb{R} dans ]a,b[
certes oui mais à quoi cela sert-il ?

tout intervalle ouvert est en bijection avec R via ce qui précède

donc d'une part A R
d'autre part on peut donc créer une surjection de A dans R

donc il existe des bijections de A dans R ...

Posté par
carpediemre : Application injective 26-09-21 à 00:27

plus précisément il faut travailler avec des surjections :

soit ]a, b[ un intervalle inclus dans A et c un élément quelconque de A

soit f l'application de R dans A définie par :

f(x) = x si x A
f(x) = c si x A

A R donc f est surjective ...

soit h la (une) bijection de ]a, b[ dans R construite via mon post précédent (composée de arctan et de la fonction affine définie par les points (a, -pi/2) et (b, pi/2)

soit g l'application de A dans R définie par :

g(x) = h(x) si x ]a, b[
g(x) = 0 si x ]a, b[

g est alors surjective de A dans R

...


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