Inscription / Connexion Nouveau Sujet
application linéaire
bonjour c'est encore moi
je dois toujours dire si chacune de ces deux affirmations est vraie ou fausse. Si elle vraie, je dois en donner la démonstration. Si elle est fausse, je dois indiquer pourquoi, en donnant soit un contre-exemple, soit la vraie valeur du résultat demandé.
1/ Soit f une application linéaire de 
3 dans non identiquement nulle. Alors son noyau est un plan.
2/ Soit E un espace vectoriel muni d'une base {e1,...,ek}, F un espace vectoriel F muni d'une base {u1,...,un}, et A une matrice à n lignes et p colonnes. Alors il existe une application linéaire de E dans F dont la matrice sur les bases indiquées est A.
je rame trop je ne comprends même pas l'énoncé du 1/
help !
Salut titi91 !
Qu'est-ce que tu ne comprends pas, dans l'énoncé du 1 ?
Te rappelles-tu de la définition du noyau de f ?
C'est Ker(f) = { x
3 | f(x) = 0 }
Ce qui est important ici, c'est que f est linéaire : on peut en déduire que l'énoncé proposé est exact.
Plus généralement, le noyau d'une forme linéaire définie sur n est un hyperplan (c'est-à-dire un expace vectoriel de dimension (n-1))...
ici, un hyperplan de l'espace 3 est donc un espace vectoriel de dimension (3-1)=2 : c'est donc un plan...
Par contre, pour la question 2... peux-tu me confirmer que E est de dimension k (cf. la base que tu donnes) : parce qu'ensuite, tu parles d'une matrice n
p... 
@+
Emma 
pour la 1ère tu trouves ça car dim =1 donc d'après le théorème du rang dim ker(f)=2 (=dim 3-dim ) ou c'est carrément autre chose??
euh non pour la deuxième en fait je me suis trompée dans l'énoncé E est un espace vectoriel muni d'une base {e1,...,ep}, donc de dimension p, désolée
Ah... je n'avais pas pensé au théorème du rang...
Mais c'est bien vu, car c'est ce qui permet de démontrer la propriété dont je parlais (disant que "le noyau d'une forme linéraire définie sur n est un hyperplan de n") 
En effet, une forme linéaire est une application linéraire à valeurs dans ; donc dans la foruulation que j'ai employée, le fait que dim(Im(f))=1 est sous-entendu...
Bref... ma propriété permet juste de ne pas à avoir à réécrire le théorème du rang... mais si elle ne te parle pas, inutile de persister : le théorème du rang te permet de trouver la dimension de Ker(f).
Dim(Ker(f)) = 2.
Or Ker(f) est un sous-espace vectoriel de 3
Et les sous-espaces de 3 de dimension 2 sont des plans... D'où le résultat 
Emma
Si * (e1;...;ep) est une base de E
* (u1;...;un) est une base de F
* A est une matrice n p.
Alors regardons si l'on peut définir une application f sur E qui soit linéaire :
posons, pour tout k de [[ 1 ; p ]] f(ek)= vecteur colonne de la k-ième colonne de la matrice :
Alors on a déjà défini les images de tous les vecteurs de la base.
Reste à savoir si cela suffit pour connaître l'image de n'importe quel vecteur x de E :
Soit x un élément de E : soit (x1;...;xp) ses coordonnées dans la base (e1;...;ep) :
x = x1.e1+...+xp.ep
Alors : f(x) = f(x1.e1+...+xp.ep)
= ....
Fais le calcul, pour te convaincre que f(x) est totalement défini
Bref, la propriété 2 est VRAIE
Emma
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac