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application linéaire

Posté par crevette78 (invité) 06-05-05 à 10:19

bonjour!!
j'ai des difficultés sur cet exercice:

soit f l'application linéaire de 3 dans 3, d'expression analytique dans la base canonique de 3
             f: (x,y,z)(2x+y-2z ,-2x+5y-4z ,x-y+5z).

1) donner la matrice de f relativement à la base canonique de 3

2)soit k. montrer que l'ensemble des vecteurs u de 3 tels que f(u)=ku est un sous espace vectoriel de 3.

pour cette question je pense qu'il faut que je démontre que c'est un ensemble non vide et stable pour l'addition et la multiplication mais je n'y arrive pas trop

3)a)on pose k=3. montrer que l'ensemble F des vecteurs u de 3 tels que f(u)=3u est un plan de 3 dont on donnera une équation cartésienne.

b)donner une base (u1,u2) de F

4)donner une base u3 du sous-espace vectoriel formé des vecteurs v3 tels que f(v)=6v.

merci beaucoup

Posté par
otto
re : application linéaire 06-05-05 à 12:19

Bonjour,
la 1 c'est du cours.
Il faut que tu applique f aux 3 vecteurs de la base dans laquelle tu exprimes f. (ici la base canonique). Tu vas obtenir des vecteurs de longueur 3 et tu les rangeras dans l'ordre en colonne.

Pour la 2, tu peux le faire ainsi, ou sinon tu peux poser g(u)=f(u)-ku.
f est linéaire et u->ku l'est également
l'ensemble des u tels que f(u)=ku est le même que ker(u).

Pour la 3, il suffit de poser u=(x,y,z) et de se laisser guider.
La 4 est semblable.

Bonne chance,
a+

Posté par crevette78 (invité)re application linéaire 15-05-05 à 11:11

merci pour ton aide mais je n'ai pas tout compris

pour la question 1 j'ai trouvé la matrice
                                              2  1  -2
                                             -2  5  -4
                                              1 -1   5
est-ce ca?

la question 2 je n'y arrive toujours pas

3) a) j'ai trouvé -x+y-2z comme équation du plan est ce que c'est ca ou j'ai tout faux?
b) donc comme base je trouve u1=(1;1;0) et u2=(-2;0;1)

je sais que la question 4 est semblable à la 3 mais je trouve des choses bizare

merci de m'aider

Posté par
otto
re : application linéaire 15-05-05 à 11:51

Bonjour.
L(E) est un espace vectoriel, en particulier puisque f est l'identité sont des applications linéaires de E dans E, g=f-kId est encore une application linéaire.
Ker(g)= l'ensemble des u tels que f(u)-Ku=0= l'ensemble des u tels que
f(u)=ku.
Et le noyau d'une application linéaire est toujours un sev de l'espace de départ...
(note que tu aurais pu tout montrer en revenant à la définition d'un sev).

Pour les 3 et 4, il suffit que u1 et u2 ne soient pas colinéaires et vérifient f(u1)=ku1 f(u2)=ku2 avec k=3 dans la question 3 et k=6 dans la question 4.

Posté par crevette78 (invité)re 15-05-05 à 12:53

merci de ton aide
je suis d'accord avec ce que tu dis, c'est de la théorie, mais ce que je n'arrive pas c'est la pratique, je trouve des choses étranges qui sont fausses. sinon j'ai compris ce que l'on me demandait

Posté par
otto
re : application linéaire 15-05-05 à 14:14

C'est ce qui compte alors.
A+



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