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Application linéaire
Bonjour j'ai une question comment on montre qu'une application est linéaire quand par exemple elle est de R^2 dans R^3 ?
Je sais le faire de R dans R ou bien de R^2 dans R^2 mais quand les dimensions ne sont pas les mêmes je galère ^^ Merci !
Bonjour
Peu importe les dimensions, d'ailleurs tu n'as même pas besoin de dimensions finies. Pour deux espaces vectoriels
et
et
il faut vérifier que
Pareil!
Tu dois regarder
Pour
C'est bien cela ??
Pareil!
Tu dois regarder
Pour f(x,y,z) = (x+y, x-y) Je dois faire ?
Bonsoir
une méthode plus simple, mais valable uniquement en dimension finie si on a une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée (ce qui est le cas dans chacun de tes exemples, en travaillant dans les bases canoniques des différents espaces utilisés) : dès lors que les coordonnées de l'image d'un vecteur sont des combinaisons linéaires des coordonnées de ce vecteur, l'application est linéaire (c'est cette propriété qui va permettre d'écrire une matrice pour représenter l'application linéaire dans ces bases)
Par exemple, pour f(x,y) = (0,2x,3y) comment on fait ?
0 = 0.x + 0.y, 2x = 2.x+0.y et 3y = 0.x+3.y sont des combinaisons linéaires de x et y : f est linéaire
Pour f(x,y,z) = (x+y, x-y) Je dois faire ?
x+y = 1.x+1.y+0.z et x-y = 1.x+(-1).y +0.z sont des combinaisons linéaires de x, y et z, donc f est linéaire
C'est super rapide. Ceci dit savoir revenir à la définition, comme te l'ont montré Camélia et GBZM, est indispensable car déjà, on n'est pas toujours en dimension finie, et même, on ne donne pas toujours f en utilisant des écritures des vecteurs dans des bases (exemple, E = l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, F = l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 1, f définie de E vers F par f(P) = P', le polynôme dérivé de P... là à la rigueur tu peux commencer par tout exprimer dans les bases canoniques (1, X, X²) et (1, X), mais ça alourdit les choses)
En fait, ce que dit lafol c'est que si toutes les fonctions coordonnées sont linéaires, la fonction l'est aussi. Si on est un peu aguerri, ça se voit à l'œil nu, sinon, vérifier pour chaque coordonnée, c'est pareil que vérifier le tout en même temps!
ce que je lui explique, c'est qu'il suffit de reconnaître des combinaisons linéaires des coordonnées : c'est à dire, si par exemple x,y et z sont les coordonnées, des expressions du type ax+by+cz, où a,b et c sont des nombres
savoir ce qu'est une combinaison linéaire, c'est une des bases de l'algèbre linéaire (base au sens fondement, pas au sens base d'un ev 
)
Salut
Par exemple, pour f(x,y) = (0,2x,3y) comment on fait ?
Une autre façon il me semble : c'est d'exhiber sa matrice (en mentionnant les bases)
et tu montres ceci:
> mousse42 En écrivant la matrice tu ne prouves pas grand chose. Son écriture admet déjà que l'application est linéaire.
(x,x') + 
(y,y') ?Dans ce cas de figure tu dois discuter sur la valeur de c pour que G soit une A.L. il faudra utiliser l'homogénéité des A.L.
Je rappelle qu'une application linéaire vérifie f(0)=0.
>mousse42 J'ai oublié de réfléchir à ton histoire de matrice, je réserve ma réponse, j'ai quand même l'impression que ça se mord la queue.
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