salut

ben pourtant il suffit de réciter la définition d'une application quand elle est linéaire  et d'en donner un exemple qui n'est pas linéaire ...

quelle est la définition d'une application linéaire ?

la définition d'une application linéaire est :

1)  f(u+v) = f(u) + f(v) pour tout u,v E

2) f(.u) =.f(u) pour tout u E et tout K

mais j'ai pas compris Donner un exemple d'une application de R² dans  R³ qui ne soit pas linéaire ?

bon ben maintenant tu prends u = (x, y)

et tu veux f(x, y) = (a, b, c) et que ce ne soit pas linéaire où a, b et c sont des fonctions de x et y ...

D'accord Merci bcp

Étant donné qu'il y a bien plus d'applications non linéaires que d'applications linéaires, vas-y au pif…

Himm j'ai compris votre question ?

La linéarité est une particularité. Une application prise au hasard n'a donc aucune raison d'être linéaire. Donc, si tu prends une application au hasard, tu as toutes les chances d'avoir un exemple d'application non linéaire. Est-ce clair?

D'accord , Merci c'est clair

ouais enfin ...un chouilla de réflexion élémentaire suffit pour sortir une application trivialement non linéaire sans aucun hasard ...

Bonjour
Tu peux prendre par exemple:
soit a un réel non nul
f:IR² ----> IR³
(x,y) -----> (x,y,a)
C'est, en plongeant IR² dans IR³, une translation de vecteur v (0,0,a)
Tu peux démontrer facilement, sur les composantes par exemple, que pour un vecteur u, f(2u) 2f(u)

ouais tout simplement une fonction constante :  (x, y) --> (1, 1, 1)

ou encore (x, y) --> (x², 0, 0)

...

Merci beaucoup

de rien

et c'est quand des solutions élémentaires : construire des fonctions de deux variables non linéaires ...

Bonjour tu as sans doute dans ton cours des tas de propriétés des applications linéaires qui permettent de fabriquer facilement des applications non linéaires

par exemple : si f est linéaire, l'image du vecteur nul de l'espace de départ est le vecteur nul de l'espace d'arrivée : il suffit de faire en sorte que f(0,0) soit différent de (0,0,0) pour être certain que f ne sera pas linéaire
d'où les idées genre f(x,y) = (x,y, 2), ou f(x,y) = (1,1,1) ...

autre exemple : si f est linéaire, les coordonnées de f(x,y) seront des combinaisons linéaires des coordonnées x, y de (x,y) (aka constante fois x + constante fois y)
d'où les exemples comme f(x,y) = (x², 0,0), ou f(x,y) = (sin y, cos x, xy)
etc etc

Merci beaucoup