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Application linéaire

Posté par
Nerf 09-09-23 à 14:27

Bonjour svp j'ai besoin d'aide.

Soit F l'ensemble des \phi \in L(Mn(\R)) telle que pour tout A\in Mn(\R)) \phi(AT)=\phi(A)T

Déterminer dim (F)

J'ai pensé à décomposer Mn(\R) en somme des matrices symetriques et des matrices antisymetriques mais je n'arrive pas à continuer

Posté par
thetapinch27re : Application linéaire 09-09-23 à 14:47

Bonjour,

Je rate peut-être quelque chose mais il me semble que tu réponds toi-même à ta question.
* Appliquer la déf au cas particulier des matrice symétrique te dis que Phi est symétrique.
* Appliquer la déf au cas particulier des matrice anti-symétrique te dis que Phi est anti-symétrique.

PS : Il faut préalablement dire que F possède une structure d'espace vectoriel.

Posté par
thetapinch27re : Application linéaire 09-09-23 à 14:49

(désolé pour les fautes d'accord dans mon précédent message)

Posté par
carpediemre : Application linéaire 09-09-23 à 17:39

salut

je ne fais que passer mais pour compléter la réponse de thetapinch27 d'un point de vu méthodologique :

Nerf @ 09-09-2023 à 14:27

J'ai pensé à décomposer Mn(\R) en somme des matrices symétriques et des matrices antisymétriques mais je n'arrive pas à continuer

je dois dire que ça me laisse pantois !

quand j'ai une idée c'est pour faire quelque chose (même si malheureusement ce quelque chose ne mène pas suffisamment souvent au résultat à mon gout ) mais pas pour ne rien faire !!

ok donc dans M(R) il y a des matrices symétriques et des matrices antisymétriques (et d'autres propriétés)

ben maintenant je regarde à nouveau ce qu'est F pour savoir immédiatement quoi faire (sans préjuger du résultat que je vais obtenir à nouveau), c'est à dire ce que te propose thetapinch27

Posté par
GBZMre : Application linéaire 09-09-23 à 18:10

Bonjour,
Je me permets d'intervenir car l'indication de thetapinchne me semble pas très claire telle qu'elle est formulée.
Soit \phi\in F.
Si A est une matrice antisymétrique, que peux-tu dire de \phi(A) ?
Si S est une matrice symétrique, que peux-tu dire de \phi(S) ?

Posté par
Nerfre : Application linéaire 09-09-23 à 22:06

Si S est symétrique, \phi (S)=\phi (S)^T. Donc \phi (S) est symétrique.
Si A est antisymetrique, \phi (A) le sera aussi.
Malheureusement, je ne vois toujours pas où ça mène...

Posté par
GBZMre : Application linéaire 09-09-23 à 23:05

Citation :
J'ai pensé à décomposer Mn(\R) en somme des matrices symetriques et des matrices antisymetriques

Réfléchis à ce que tu viens de voir et ce que ça dit sur les \phi\in F. Si \phi\in F,alors nécessairement ...
Et la réciproque ?

Posté par
Nerfre : Application linéaire 10-09-23 à 05:10

Les éléments de F peuvent se décomposer en somme directe d'endomorphismes symetriques et antisymetriques. On sait que la dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n est n2. De plus, dim(S_n(\R))=\frac{n(n+1)}{2} et dim(A_n(\R))=\frac{n(n-1)}{2}. Donc dim(F)=(\frac{n(n+1)}{2})^2+(\frac{n(n-1)}{2})^2.

Posté par
GBZMre : Application linéaire 10-09-23 à 06:59

Il y a l'idée mais c'est formulé de manière incorrecte.
Que veux-tu dire par "somme directe d'endomorphismes symetriques et antisymetriques" ? Qu'est-ce qu'un "endomorphisme symétrique" de M_n({\mathbb R}).
Il manque une formulation correcte et un argument pour justifier le résultat.

Posté par
Nerfre : Application linéaire 10-09-23 à 15:13

On sait qu'à chaque endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n est liée une matrice carrée d'ordre n. Dans notre cas, on peut associer à chaque \phi une matrice de taille n2. Je n'ai qu'à compter les endomorphismes linéairement indépendants ie par bijection les matrices linéairement indépendantes. 3 cas de figures se présentent. Soit la matrice est paire, ou elle est impaire ou elle est une combinaison linéaire d'une matrice paire et d'une matrice impaire. L'ensemble des matrices paires et impaires sont en somme directe, donc  dim(F)=(\frac{n(n+1)}{2})^2+(\frac{n(n-1)}{2})^2.

Posté par
Ulmierere : Application linéaire 10-09-23 à 15:23

Réserve les mots "paire" et "impaire" aux fonctions, pour les matrices, ça ne veut pas dire la même chose que "symétrique" et "antisymétrique".
Ton argument ne me convainc pas et je suis sûr que toi non plus tu n'es pas du tout convaincu par ta méthodologie

Posté par
GBZMre : Application linéaire 10-09-23 à 16:13

Ça ne me satisfait toujours pas.
Je me fais plus directif.
Soient {\mathcal S}_n et {\mathcal A}_n les sous espaces des matrices symétriques et antisymétriques, respectivement.
1°) Montrer que pour tout \phi\in F,  {\mathcal S}_n et {\mathcal A}_n sont stables par \phi (Ça, c'est déjà fait). On notera \phi|_{{\mathcal S}_n} et \phi|_{{\mathcal A}_n} les endomorphismes de  {\mathcal S}_n et {\mathcal A}_n induits par \phi .
2°) Montrer que \phi\mapsto (\phi|_{{\mathcal S}_n} ,\phi|_{{\mathcal A}_n}) est un isomorphisme linéaire de F sur L({\mathcal S}_n)\times L({\mathcal A}_n). (C'est ça qu'il faut rédiger soigneusement.) Conclure.

Posté par
Nerfre : Application linéaire 10-09-23 à 16:13

J'ai déjà assez réfléchi dessus mais je ne trouve d'autres explications à ça. Sûrement, quelque chose m'échappe..

Posté par
GBZMre : Application linéaire 10-09-23 à 16:39

Tu ne comprends pas la formulation de ma question 2 ? Si tu y réfléchissais, ça te fournirait un bon cadre pour formuler correctement les choses. Faut-il que je détaille ce qu'il y a à faire pour résoudre cette question 2 ?

Posté par
GBZMre : Application linéaire 13-09-23 à 12:32

Je finis puisque Nerf a laissé tomber.
L'application \phi\mapsto (\phi|_{{\mathcal S}_n},\phi|_{{\mathcal A}_n}) est linéaire. Sa réciproque \Phi : L({\mathcal S}_n)\times L({\mathcal A}_n) \to F est donnée par \Phi(u,v)(M)=u(S)+v(A), où M=S+A est l'unique décomposition de M en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. On vérifie que \Phi(u,v)\in F :

\large\Phi(u,v)(M^{\mathsf T})=\Phi(u,v)(S-A)=u(S)-v(A)=u(S)^{\mathsf T}+v(A)^{\mathsf T}=\left(\Phi(u,v)(M)\right)^{\mathsf T}

On vérifie aussi facilement que \Phi(u,v)|_{{\mathcal S}_n}=u et \Phi(u,v)|_{{\mathcal A}_n}=v ainsi que \Phi(\phi|_{{\mathcal S}_n},\phi|_{{\mathcal A}_n})=\phi.

Puisque F est linéairement isomorphe à L({\mathcal S}_n)\times L({\mathcal A}_n) , la dimension de F est égale à la somme de la dimension de  L({\mathcal S}_n)  et de celle de  L({\mathcal A}_n) , soit

\\ \large\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)^2+\left(\dfrac{n(n-1)}2\right)^2= \dfrac{n^2(n^2+1)}4 .

Posté par
Ulmierere : Application linéaire 13-09-23 à 13:30

Il y a une petite erreur de calcul à la fin, c'est un 2 au dénominateur, puisque (n+1)^2 + (n-1)^2 = 2(n^2 + 1)

Posté par
GBZMre : Application linéaire 13-09-23 à 13:48

Oui pardon, c'est un 2.  Comme il y a en plus un bug de compilation LaTeX, je reprends le dernier paragraphe :

Puisque F est linéairement isomorphe à L({\mathcal S}_n)\times L({\mathcal A}_n) , la dimension de F est égale à la somme de la dimension de  L({\mathcal S}_n)  et de celle de  L({\mathcal A}_n) , soit

\\ \large\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)^2+\left(\dfrac{n(n-1)}2\right)^2= \dfrac{n^2(n^2+1)}2 .


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