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application linéaire avec intégrale

Posté par
remitsc
03-06-23 à 11:36

Bonjour a tous,
je n'arrive pas à résoudre cet exercice, il y a une intégrale qui me pose problème, je connais les méthodes il me faudrait juste le point de départ. Merci pour vos réponses

Soit E = C(R, R) l'espace vectoriel des fonctions continues sur R à valeurs dans R. On considère l'application Φ : E → E qui, à toute fonction f de E, associe la fonction Φ(f) définie sur R par ∀ x ∈ R, (Φ(f)) (x) = Z x+1 x f(t) dt  
1. a. Soit f ∈ E. En introduisant une primitive F de f sur R, justifier que Φ(f) est dérivable sur R. b. En déduire que l'application Φ n'est pas surjective.
2. Montrer que Φ est un endomorphisme de E.
3. Soit la fonction g : x −→ cos(2π x). Calculer pour tout réel x, (Φ(g)) (x). Φ est-elle injective ? Justifier.

Posté par
carpediem
re : application linéaire avec intégrale 03-06-23 à 12:28

salut

que signifie

remitsc @ 03-06-2023 à 11:36

∀ x ∈ R, (Φ(f)) (x) = Z x+1 x f(t) dt  


il y a des outils (icones ) permettant d'écrire convenable les expressions mathématiques  ou LTX en dessous de ce cadre de rédaction

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application linéaire avec intégrale 03-06-23 à 13:19

Bonjour,
Pour écrire les intégrales, on peut utiliser ce bouton sous la zone de saisie :
application linéaire avec intégrale
Puis c'est le 2nd bouton orange à partir de la gauche. Descendre d'un cran.

Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
remitsc
re : application linéaire avec intégrale 04-06-23 à 10:33

Bonjour,

Voici l'énoncé  écrit en latex

Soit E = C(R, R) l'espace vectoriel des fonctions continues sur R à valeurs dans R. On considère l'application Φ : E → E qui, à toute fonction f de E, associe la fonction Φ(f) définie sur R par
∀ x ∈ R, (Φ(f)) (x) = \int_{x+1}^{x}{f(t) dt}


1. a. Soit f ∈ E. En introduisant une primitive F de f sur R, justifier que Φ(f) est dérivable sur R.
b. En déduire que l'application Φ n'est pas surjective.
2. Montrer que Φ est un endomorphisme de E.
3. Soit la fonction g : x −→ cos(2π x). Calculer pour tout réel x, (Φ(g)) (x). Φ est-elle injective ? Justifier.

Posté par
remitsc
re : application linéaire avec intégrale 04-06-23 à 10:34

Je me suis trompé sur les bornes de l'intégrale :

\int_{x}^{x+1}{f(t)dt}

Posté par
carpediem
re : application linéaire avec intégrale 04-06-23 à 11:19

donc \phi (f) (x) = F(x + 1) - F(x) où F est une primitive de f

or (théorème à citer) on en déduit que (f) est dérivable

on en déduit alors que n'est pas surjective en considérant par exemple la fonction valeur absolue



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