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Niveau Licence Maths 1e ann
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Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f)

Posté par
Macdan
10-05-11 à 21:18

Bonsoir,
Je n'arrive pas a comprendre un exercice,

On a :
f : R3 -> R2
(x,y,z) -> ( (x + y - z) ; (2x + z) )

Donner une base et dimension de Ker f
Donner une base et dimension de Im f

Ça va faire 3h que je suis dessus, mais je ne comprend pas comment trouver ça.
Si je peux avoir de l'aide.
Merci !

Posté par
FlashPower
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:19

tu connait la définition du ker d'une application ?

Posté par
Macdan
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:26

Je sais que ker f est un ss ev E dont les vecteurs ont pour image :
- le vecteur nul de l'espace vectoriel F si f est une application linéaire de E dans F
- le vecteur nul de l'espace vectoriel E si f est une application linéaire de E dans lui-même.


Il faut donc avoir Ker f = (0)
Non ?

J'uis totalement pomé !

Posté par
FlashPower
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:28

Nan ! ce n'est pas la définition quantifié du ker d'une application.. (kerf = (0) implique juste que l'application est injective mais c'est pas ce qui demande)

Posté par
Yggdrasyll
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:34

bonjour
 ker f=\{(x,y,z)\in R^{3}/ f( x,y,z ) = 0_{R^{2}}\}

ça revient à calculer le système
x+y-z=0
2x+z=0

      les vecteurs de la forme (x,x,-2x) sont dans ker f x(1,1,-2)
la droite de vecteur directeur (1,1,-2) qui est donc une base de l'espace dimension 1
donc dim kerf = 1

Posté par
Macdan
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:35

On résout sur le systeme
x + y - z = 0
2x + z = 0

??

Posté par
Macdan
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:36

Ah ! J'avais bien commencé ! Y'a de l'espoir !

Posté par
Yggdrasyll
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:36

il manque la parti résolution de système (qui n'est pas passé...)
bref on a
y=x et z= -2x sauf erreur de ma part

Posté par
Macdan
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:41

Vu que l'on trouve que une base ici donc  (1,1,-2), Ker=1  

Et donc Im f = Dim (R) - Dim (ker f).
Soit 3-1=2
Im f = 2

?????

Posté par
FlashPower
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:46

erreur de ta part !
x+y-z=0 et z =-2x d'ou y = z-x=-3x , ainsi t'a kerf = ( x appartenant a R tel que (x,-3x,-2x))
d'ou une base du ker est kerf = Vect ( (1,-3,-2) )

Posté par
FlashPower
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:48

Étant donné que le kerf est engendré par un seul vecteur de R3 qui est (1,-3,-2) , alors la dimension est de 1 (si t'aurai eu engendré par deux vecteurs alors la dimension aurait été de deux etc...)

Posté par
Macdan
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:53

Okay.
Si je devais trouver 2 vecteurs, on utiliserait toujours le système ?

Posté par
Yggdrasyll
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 21:54

merci FlashPower

Posté par
Macdan
re : Application Linéaire / base et dimension Ker(f) et Im(f) 10-05-11 à 22:09

Mon raisonnement est correct pour Im(f) ?
Et pour trouver sa base, j'utilise la forme canonique de la matrice ?

0 0 1
0 1 0
1 0 0

Que je multiplie par le vecteur de Ker f.

??



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