Hello !
Une app linéaire est continue ssi il existe une constante M>0 telle que pour tout x.

Si   alors

Ensuite si je note qui est une constante, à base fixée, on y est presque en utilisant l

J'ai bien compris ce que vous avez écrit, mais est-ce que vous pouvez me faire comprendre cette définition de continuité ?

salut

quelle est la définition d'une fonction f continue ?

que devient-elle lorsque f est linéaire ?

Un application f est continue en a ssi : pour tout  e>0 , il existe d>0 tel que ||x-a||<d entraîne ||f(x)-f(a)||<e.

Si f est linéaire f(x)-f(a)=f(x-a) .
La définition devient :
Pour tout e>0  , il existe d >0 ,tq ||x||<d entraîne ||f(x)||<e.

Bonjour!
Justement toureissa. Cela équivaut à ce que dit lionel52 et tu devrais faire l'effort de le démontrer.

En même temps que les propositions équivalentes :
L'image de la sphère unité est bornée.
L'image de la boule unité est bornée.
Pour tout

et on peut rajouter l'équivalence suivante (qui découle quasiment du post de toureissa) :

f est continue en a si et seulement si f est continue en 0  (f linéaire bien sûr)

Bonjour,

je rajoute encore des propriétés équivalentes parce qu'elles sont toutes utiles selon les contextes :

1) f est k-lipschitzienne
2) f est uniformément continue
3) f est continue
4) f est continue en 0
5) l'image de tout borné est bornée
6) l'image de la boule unité est bornée
7) l'image de la sphère unité est bornée

et on peut montrer les équivalences avec des implications cycliques ( 1 -> 2 -> ... 7-> 1 )

Bonjour,

J'ai essayer de démonstrer l'équivalent entre les deux:

f est continue ssi:

1. Il existe M>0 telle que ||f(x)||<M||x|| pour tout x.

2. Pour tout e>0 il existe d>0 , ||x||<d entraîne ||f(x)||<e.

(1--->2). Supposons 1 et montrons 2.

Soit e>0 donné. Posons d=e/M

Ona ||x||<d entraîne ||f(x)||<M||x||<MD=e.

(2--->1).  Supposons 2 et montrons 1.
C'est là que je n'arrive pas a trouver M.

Voici comment j'ai commencé à démontrer les 7 équivalents, mais je suis bloqué en 5.

1---2. Supposons f k-lipschitzienne avec k>0 ssi pour tout x et y , ||f(x)-f(y)||<k||x-y||.

Donnons-nous un e>0 et posons d=e/k. Alors

dès que ||x-y||<d on aura ||f(x)-f(y)||<k||x-y||<kd=e.

On a donc montrer que f est uniformément continue.

2--->3).  L'écriture de la définition de 2) prouve que f est continue en tout point a de E (en posant y=a) , donc f est continue.

3--->4)  f est continue , donc continue en 0.

4 --->5).  Supposons f continue en 0. Alors pour tout e>0 il existe d>0 tq ||x||< d entraîne ||f(x)||<e.

Soit A un borné. Alors il existe M>0 tq pour tout x de M , ||x||<M.

Je suis bloqué ici.

Hello la propriété fondamentale qui permet de conclure c'est


f(x) = ||x||/d f(d.x/||x||)

Chez toi par ex avec epsilon = 1, et d associé. Si ||x|| < M alors...

Je trouve ||f(x)||<M/d.

5--->6) évident, car la boule unité est bornée.

6--->7) évident aussi, car la sphère est inclus dans la boule.

7)--->1)  supposons 7, alors il existe k>0 tq pour tout x , tq ||x||=1  on a ||f(x)||≤k.

Ainsi ||f((x-y)/||x-y||)||≤k, qui donne  ||f(x-y)||≤k||x-y|| , comme f est linéaire , la preuve est achevée.

Est-ce que c'est correct ?

Il faut bien dire que x-y est non nul mais sinon c'est bien (je crois, en ayant lu rapidement).

Ces résultats sont vrais en dimension infinie aussi, tu vois bien que tes démonstrations ne dépendent pas de l'expression de la norme

Merci Merci à vous de m'aider !
Je vous remercie bien . Bonne journée !