Salut,
alors déjà un prof de sup ne devrait pas donner des sujets qui traitent d'une matière de bac+4 mais passons...(sauf si par sup on suppose supérieur et non mathsup...)

Quand on est sous ces hypothèses, on a en général que la norme de T défini par

la norme de T est en général celle de g.
Plus particulièrement on est dans le cas où g est la fonction caractéristique de [0,x] qui est une fonction de norme 1.
Probablement donc, que la norme de l'opérateur était de 1.
De même pour la norme de T^2. Une chose est sure, la norme de T^2 est inférieur au carré de celle de T. (de même pour une puissance n-ième quelconque).

Tout celà n'est qu'a vue d'oeil, il faudrait le prouver.
Toujours est il que, la norme de T est le sup des normes de T(f) pour f de norme 1.
Il est clair que .
l'autre inégalité est facile, ce qui prouve que la norme est bien 1.

Pour la suite, on prend T(f) qui est l'intégrale de f sur, c'est à dire finalement une primitive de f.
Si on prend T(T(f)) ce sera une primitive d'une primitive précédente. Notamment si on dérive T(T(f)) par rapport à x, on devrait trouver T(f)
Si on dérive l'expression que l'on nous donne pour T(T(f)), que trouve t'on? Probablement que l'on va trouver T(f) lui même. On a donc l'égalité à une constante près, constante pas difficile à trouver.
De même pour l'ordre n.
Pour les normes, je n'ai pas trop essayé, mais probablement que ca devrait être 1.
A confirmer.
A+

Merci à toi de ta réponse bien que j'ai eu du mal à suivre...
Pour mon niveau, je suis en 2° année d'école d'ingénieur.

Je crois que tu réponds en grande partie à la question a)
Je sais que la norme triple de T c'est "x" (à moins que je me soit trompé)
Moi ce que je n'arrive pas à montrer c'est :
T²(f)(x)=(x-t)f(t)dt où l'intégrale est de 0 à x (c'est la première partie de la question b))
Je ne comprend même pas comment il peut y avoir à la foit la variable x et la variable t soit l'intégrale...
Es ce qu'on peut dire que T²(f)(x)= (f(t)dt)dt (où les intégrale vont de 0 à x) ?
Et comment faire pour arriver à montrer ça :
T²(f)(x)=(x-t)f(t)dt où l'intégrale est de 0 à x

Freeman

Bonjour,

Je remet le lien de la question au cas où:
***
C'est la question 3 b) qui me pose problème.
Merci de vos réponses.

Freeman

Personne n'est capable de faire mon exo ??
sniff...
Pour moi il est impossible, mais je loupe peut-être qq chose...

Freeman

Bonjour Freeman26,bonjour otto;
2) Je n'arrive pas à bien lire l'expression de f(x,y).
3)
a)La linéarité de T ne pose pas de problème.
On sait (par définition de la norme d'une application linéaire continue) que
et comme on voit que et donc que donc
En considérant en particulier l'application constante on vérifie facilement que et donc que on conclut alors que

b) et vu que on a par intégration par parties que
Montrons alors par récurrence que
(*)la propriété est clairement vraie pour n=1,2.
(*)supposons la vraie pour un certain on peut alors écrire
.

c) je te laisse voir que:


Sauf erreurs bien entendu

Merci énormément elhor_abdelali !!!
Moi j'avais trouvé que la norme triple de T c'était x...
Parce que dans mon énnoncé on dis pas que x tend vers 1.

Freeman

Ici x n'avait aucune chance d'apparaitre puisque la norme de f ne dépend pas de x, et donc puisque celle de T dépend uniquement de celle de f, il ne risque pas non plus d'y avoir de x.
Ensuite x ne tend pas vers 1, x est la variable de la fonction f.
f est une fonction réelle et T est la fonction qui à une fonction associe sa primitive qui s'annule en 0.

A partir de là, comme je te l'ai déjà dit (puisque je ne faisais pas que répondre à la question a, mais bien à tout l'exercice au complet), on a que T(f) est la primitive de f qui s'annule en 0, notons là F.
T(T(f))=T(F) et c'est donc la primitive de F qui s'annule en 0.
Pour montrer l'égalité demandé, plutôt que de faire des intégrations à n'en plus finir, autant faire des dérivations:
T(T(f))'=T(F)'=F par définition.
Si on dérive ce que l'on te donne, on va trouver en posant g la fonction caractéristique de [0,x]

Ce qui est le résultat souhaité (sauf erreur)
On a donc que T(T(f))'(x)=F(x) et donc une primitive de F vaut T(T(f))=T(F), et on sait que c'est celle qui s'annule en 0.
CQFD

On peut applique ceci à la troisième question pour trouver T^n(f).
A+

Bonsoir,

Bon bah merci énormement à vous deux !
Vous avez vraiment bien répondu à mes questions !
C'est très gentil à vous d'avoir passer autant de temps pour m'aider !
Avec toute ma gratitude,

Freeman

De rien, c'était un plaisir.
A+

Bonjour!

Voilà, j'ai fait remonter ce topic, parceque l'exercice proposé par Freeman26 m'intéresserait pas mal pour m'entrainer, seulement,il n'y a pas le sujet,
alors peut-être que l'un d'entre-vous aurait le lien éffacé pour que je puisse me le procurer.

Voilà, merci beaucoup!

De mémoire, l'exo donnait T comme opérateur défini sur l'ensemble X des fonctions continues sur [0,1] (ou à la limite on pourrait prendre L1([0,1]) tel que
f dans X ->
Le but était de montrer que T était continue, de trouver sa norme, de trouver la norme de T^2 et puis de T^n.

Je crois que c'était quelque chose comme celà.
A+

oups évidemment on ne peut pas avoir f(x)dx et avoir x comme borne, mais on aura rectifié, on peut faire f(t)dt par exemple.
A+

OK merci beaucoup otto!

Y'a plus qu'à se mettre au boulot