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Application linéaire: Ker u et Im u (technique)
Bonjour à tous et à toutes !
Voilà, je suis en train d'étudier les applications linéaires et notamment la notion de noyau et d'image que je trouve assez abstraites.
Je voudrais savoir si vous connaissiez une technique ou une méthode qui permettent de déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire car j'ai l'impression que pour chaque exemple, cela change.
Je sais que pour montrer que Ker u =0 ,alors il faut montrer que u est injective. Mais comment montrer que u est injective ? Pour Im u, il faut montrer que u est surjective.
Y a t-il des éléments clés dans un énoncé qui me permettent directement de déduire que Ker u =0 par exemple
J'ai besoin de m'approprier ces notions, donc je vous remercie de vos explications et de votre aide.
Bonsoir,
Généralement, on raisonne plutôt dans le sens inverse : on veut montrer qu'une application est injective, et donc pour cela on montre que son ker est réduit à 0 (même si le ker peut servir à d'autres choses).
Pour ce faire, et bien... il suffit généralement de se donner un élément de ton espace vectoriel, et de trouver une CNS pour que son image par l'application considérée soit nul (en écrivant ce qu'est justement cette image). Autrement dit d'écrire les choses.
En règle générale, la détermination du ker commence par un truc de ce genre :
Soit
Pour l'image, c'est pareil : en règle général, u n'est pas surjective. On cherche plutôt à déterminer ce que vaut Im(u) en vue — par exemple — de restreindre l'ensemble d'arrivée de façon à justement induire un truc surjectif (voire bijectif, c'est plus intéressant)...
Généralement, l'image « se voit assez bien » si on a besoin de savoir ce qu'elle vaut explicitement.
Mais bon, il est vrai qu'on voit mieux les choses avec des exemples... qui sont d'ailleurs certainement plus convaincants que des « généralement »...
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