Je précise que mon résultat m'amène à dire que x € Ker p et Ker (id - p o q), donc que p(x) = 0 et (p o q) = x, et qu'avec cela je n'arrive pas à montrer que x = 0 (donc Ker id - p o q injective)...

salut

il me semblait que si p est un projecteur alors Ker p et Im p sont en somme directe :

tout vecteur x s'écrit de façon unique x = p(x) + [x - p(x)]

n'aurait-on pas alors ici Im p = Ker q et Im q = Ker p  et p + q = I ? (car on est en dimension finie)

_{*malou>citation inutile supprimée*}

Bonsoir Carpediem, merci pour ton retour !

Je suis d'accord sur le fait que Im p et Ker p sont en sommes directes. Toutefois, je ne vois pas pourquoi Im p = Ker q et Im q = Ker p, de même que je ne vois pas le lien avec p o q - I.

Cordialement

Bonjour
Quelles salades....

_{*malou>citation inutile supprimée*}

Bonjour Lafol,

Autant pour moi, j'aurai dû dire l'application linéaire (id - p o q) injective si son noyau est réduit à l'élément neutre...

En effet j'ai écris assez bêtement cette égalité ...

Bonjour

Je soupçonne quand même cet énoncé d'être un peu folklorique et ses hypothèses redondantes.

J'ai l'impression que lorsque p et q sont des projecteurs tels que (p-q) est bijective, alors Imp et Imf d'une part, et Kerp et kerq d'autre part, sont fatalement en somme directe.

et je confirme !

donc finalement tenons-nous en aux hypothèses :

Soient p et q deux projecteurs de E de dimension n tels que p-q est un isomorphisme

Montrer que (Id - poq) est un isomorphisme

Il suffit de démontrer qu'elle est injective vu les dimensions.

Je suis bien d'accord qu'il faille montrer l'injectivité de Ker (Id - p o q), et l'exercice d'ailleurs invite à calculer (p-q)²(x), sachant que x € Ker (id - p o q).

Toutefois, j'aboutis à :
x € (Ker (p-q)² et Ker (id - p o q)), et je ne vois pas comment exploiter cela (si c'est juste ...).

Cdlt

ce n'est qu'une invitation !

si poq(x) = x

1 : établir que q(x)-x Ker(p)
2 : voir aussi que q(x) - x Ker(q)
3 : voir que Ker(p) Ker(q) = {0}
4 : en déduire que q(x) = x et p(x)=x
5 : en déduire que x=0

Peut-être que j'ai la réponse sous les yeux .... :

en montrant que : x € (Ker (p-q)² et Ker (id - p o q)), j'ai donc (p-q)² = 0, or (p-q) bijective donc (p-q)² (x) = 0 <=> (p-q)(x) = 0 donc x € Ker (p-q), or (p-q) bijective donc son noyau est l'élément neutre, donc x = {0}.

J'ai juste un doute concernant le passage (p-q)² (x) = 0 <=> (p-q)(x) = 0, la réciproque d'un projecteur serait la fonction qui au p(x) = 0 renvoie les x, or ce n'est pas que 0...

"J'ai juste un doute concernant le passage (p-q)2 (x) = 0 <=> (p-q)(x) = 0, la réciproque d'un projecteur serait la fonction qui au p(x) = 0 renvoie les x, or ce n'est pas que 0..."

-> je retire cela, la bijectivité assure que la fonction réciproque n'envoie les éléments que sur une seule et même image, vu que la fonction réciproque est nécessairement une application linéaire...

quel fouillis !

(p-q)²(x) = (p-q)o(p-q)(x) = (p-q)((p-q)(x))

donc si c'est nul ça veut dire que (p-q)(x) est dans le noyau de (p-q) ... et que sait-on de (p-q) ?... ;D

cela dit faudrait déjà démontrer que c'est nul

_{*malou>citation inutile supprimée*}

(p-q) est bijective <=> ker (p-q) = {0}, donc (p-q)(x) = 0 et p(x) = q(x) mais je ne vois pas comment exploiter cela (malgré un moment de recherche...).

D'autre part, le fait d'avoir trouvé (p-q)²(x) = 0 (en supposant que je n'ai pas fais d'erreur à ce niveau...), et sachant que (p-q) est bijectice (et donc admet une fonction réciproque bijective), dès lors j'ai : (p-q)(x) = (p-q)^-1(0), et je sais que (p-q)^-1(0) car c'est une application linéaire bijective. Donc que x est nul ...


Bien cordialement,

* que (p-q)^-1(0) = 0