Bonjour,

Qui est P ?
Déjà, cela ne semble pas être une application.

Nicolas

Je m'explique.
Si P(X) = X(X-1)

Alors ton "application" envoie :
0=P(0) |-> P(1)=0
et, en même temps :
0=P(1) |-> P(2)=2

Cela me semble déraisonnable.

Bonjour à tous

Nicolas> je pense que l'application est celle qui à un polynôme P (d'indéterminée X) associe le polynôme Q tel que Q(X)=P(X+1). En tous cas, c'est comme ça que je le vois.

Kaiser

Ah... OK. Merci, Kaiser.
Ce n'est pas pour rien qu'une application se définit aussi par son ensemble de départ et d'arrivée. Cela permet de comprendre de quoi on parle.

Mais je t'en prie !

en effet l'application envoie de R[X] a R[X], 1 endomorphisme quoi.

désolé pour le manque de precision

Bonjour jonathan_normand

Pour résoudre ton exo, il suffit de répondre à la question suivante :

Si Q(X)=P(X+1), alors que vaut P(X) ?

Kaiser

C'est quand même assez évident. Plutôt que de chercher une méthode systématique il vaut mieux essayer de voir ce qui se passe. (D'ailleurs si une méthode systématique existait, on aurait beaucoup moins de problème en maths...)

La question est : comment faire disparaitre le X+1 et faire apparaitre un X à la place?

d'ailleur la methode systematique c'est sa :

on apelle F ta fonction, soit P quelconque dans R[X]

alors on cherche a ressoudre l'equation F(Q)=P
et puis c'est parti, CN sur le solutions, puis CS, si l'equation admet une unique solution pour tous P, alors elle est bijective est l'application reciproque est l'application qui a P->Q (qu'a priori on a trouvé en faisant la CN, et verifier en faisant la CS...)


mais bon... ici tu n'a absoluement pas bessoin de tous sa, la solution est 'evidente' non ?

si vous pensez a p(X) -> P(X-1) je pense que c'est faux car P(X+1)°P(X-1)= P(P(X+1)-1) différent de P(X). car P(X+1) different de P(X)+P(1)

par contre je crois avoir trouvé avec ceci : P(X)= ak X^k ak coeff devant X^k. donc p(X+1)= ak(X+1)^k or (X+1)^k= *coeff binomial(i parmis k)*X^i.
donc P(X+1)=âkX^k((i parmi k)X^i)
avec une bidouille de la somme de somme ( je ne suis pas très bon à ça)
P(X+1)=ak(k parmi n)X^k
d'ou l'app réciproque : akX^k->ak(k parmi n)^(-1)*X^k

Bonjour jonathan_normand

Attention à ce que tu fais : tu confonds la composée d'applications linéaires avec la composée de polynômes.

Kaiser

dans ce cas je ne comprend toujours pas pour quoi l'application réciproque serait P(X)->P(X-1). car ds ce cas qu'est-ce la compo de polynomes ?

Justement là, on ne s'intéresse pas à la composée de poynômes.

Posons


et



Soit P un polynôme et posons Q=f(P), alors Q(X)=P(X+1).
Alors par définition de g, on a (gof)(P)=g(Q)=Q(X-1)=P((X-1)+1)=P(X).
On vérifie de la même manière que (fog)(P)=P, d'où le résultat.

Kaiser

"P(X+1)°P(X-1)= P(P(X-1)+1) "

certe c'est vrai, mais sa n'a absoluement rien a voir avec le probleme posé


si tu apelle Phi : P(X)->P(X-1)  ( on peut aussi noter P->P(X-1) )

deja, il faut qu'on se mette bien d'accord sur un point : dans l'ecriture de Phi, il ni a aucun P, quand j'ecrit "P(X)->P(X-1)" il ni a pas de P, j'aurais tres bien pu ecrire Q(x)->Q(X+1), ou W(X)->W(X+1) sa aurait ete exactement pareil, on est bien d'accord ?


bon apres si je calcule Phi(Q(X+1)), et bien sa fait Q composé avec (X-1), c'est a dire Q((X-1)+1) = Q(X)