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application semi lineaire
Une application "u" d'un espace vectoriel complexe E dans lui même est dit semi-linéaire si elle vérifie la propriété suivante :
«pour tout scalaire "a" et tout "(x ; y)€E², on a u(ax+y)=("a barre")u(x)+u(y). Où ("a barre") est le nombre conjugué de " a". »
On prend donc une application semi-linéaire d'un espace vectoriel E dans E et on se propose de montrer que, étant donné un (x≠0)€E, il existe un unique scalaire "p" tel que u(x) = px .
merci de vos approches
salut
en notant a* le conjugué de a on a donc : u(ax + y) = a*u(x) + u(y)
qui résume les deux propriétés :
u(x + y) = u(x) + u(y)
u(ax) = a*u(x)
mais dire qu'il existe un scalaire p tel que u(x) = px signifie simplement que u est une homothétie ...
et je ne vois aucune raison pour que ce soit le cas ...
Reste à voir si la semi-linéarité de u entraiîne l'existence , pour tout x non nul de E , d'au moins un p 
tel que p(x) = p.x
Bonjour
en appliquant ta définition à y = 0 et a = 1, tu obtiens u(x)=u(1.x+0)=u(x)+u(0), donc u(0)=0
en l'appliquant à y = 0, et x = 1 tu obtiens , c'est à dire, si on pose p = u(1),
tu es certain de ton énoncé ?
Si u(x) = p.x = q.x alors (p - q).x = 0 donc p = q ou x = 0 .
Ceci vaut pour toute u : E
E .merci oui cela etablie l'unicité.
Bonjour
en appliquant ta définition à y = 0 et a = 1, tu obtiens u(x)=u(1.x+0)=u(x)+u(0), donc u(0)=0
en l'appliquant à y = 0, et x = 1 tu obtiens
tu es certain de ton énoncé ?
X est un vecteur puisqu'il est element d'un e.v.
donc pourquoi l'attribuer la valeur 1.
de plus ton a est considere comme un scalere! et notre application U evalue les vecteur de E et non des scalaire du corps C
salut
en notant a* le conjugué de a on a donc : u(ax + y) = a*u(x) + u(y)
qui résume les deux propriétés :
u(x + y) = u(x) + u(y)
u(ax) = a*u(x)
mais dire qu'il existe un scalaire p tel que u(x) = px signifie simplement que u est une homothétie ...
et je ne vois aucune raison pour que ce soit le cas ...
j'aimerais attirer votre attention sur l'enoncé.
pour chaque x dans E on peut trouver un p tel que U(x)=px.
et non
il existe un p tel que pour tout x dans E U(x)=px
dans le second cas c'est bien une homotopie mais dans le premier c'est pas le cas
Le résultat est grossièrement faux. Les applications proposées ne sont meme pas semi-lineaires.
je ne vous comprend pas bien
Ben regarde un exemple genre (z,w)->(w bar, 0).
As tu l'impression que (1,0)=p(0, 1) pour un scalaire p?
donc tu veux juste montrer que pour tout x dans E, la famille (x,u(x)) est liée ?
exactement
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