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Application simpliciale

Posté par
Compotes
02-01-19 à 16:49

Bonjour à tous et bonne année!
J'ai bien compris la notion d'application cellulaire et d'approximation cellulaire.
Je viens de découvrir la notion d'approximation simpliciale qui m'a beaucoup étonné.
Je m'attendais à une application simpliciale qui soit homologue à l'application de départ mais on me dit que c'est simplement une application qui "préserve les étoiles".
F est une approximation simpliciale de f si F(st(v)) est inclus dans st(f(v)).
Pourquoi cette définition?

Posté par
carpediem
re : Application simpliciale 02-01-19 à 17:17

tout à fait !!!

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 02-01-19 à 17:26

Pourquoi simplement homologue? Et pas homotope?
C'est bien ce qu'on veut.
La définition que tu donnes n'est pas la bonne, tu as inversé F et f, mais ce doit etre une typo.
Ensuite, la définition que tu donnes est bonne car elle implique facilement que F et f sont effectivement homotopes? Il te suffit de constuire l'homotopie simplexe par simplexes.
En particulier les applications seront homologues.
Attention une approximation simpliciale n'existe pas toujours, elle existe apres raffinement eventuel de la struture simpliciale.

Posté par
Compotes
re : Application simpliciale 02-01-19 à 18:21

Carpediem je ne comprends pas votre réponse.

Poncargues oui je voulais dire homotopes. Je ne sais pas faire la preuve que la définition que j'ai donné implique que les applications sont homotopes.

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 02-01-19 à 19:22

Il suffit de l'ecrire!
Tu prend h(t)=tf(t)+(1-t)F(t), ceci à bien un sens puisque les simplexes sont stables par combinaison convexes et tu verifie la continuité en restriction à chaque simplexe fermé (enfin sa réalisation géométrique) là où elle est evidente. Il faut bien sur se rappeler que la topologie sur la réalisation d'un complexe simplicial est la topologie de la limite inductive sur les simplexes fermés. On l'appelle parfois la topologie faible.

Posté par
Compotes
re : Application simpliciale 03-01-19 à 00:01

D'accord je crois comprendre.
J'ai une autre question.
Quelle est la différence entre ensemble simplicial et complexe simplicial ?
Merci.

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 03-01-19 à 00:04

Et bien je te dirais que les differences sont dans le fait que l'un est tres rigide et l'autre tres souple.
Mais pourquoi tu poses la question? Ca me permettra de te donner une réponse un peu moins vague.

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 03-01-19 à 00:13

Qques elements de réponse néanmoins.
Les complexes simpliciaux sont des objets combinatoires simples qui permettent d'accéder à une catégorie d'espaces topologiques définis de manière combinatoire, et qui sont leur réalisation. Cette réalisation est "rigide", elle ne rajoute rien d'un point de vue topologique à ce qu'il se passe combinatoirement, résultat des courses il est tres facile de comprendre topologiquement la réalisation de tels espaces et on peut calculer leur (co)homologie tres facilement par exemple.

Si on donne un peu plus de souplesse on obtient la catégorie des CW-complexes qui est moralement la catégorie qui nous interesse vraiment (par exemple tout variété à le type d'homotopie d'un CW-complexe). en fait ce qui nous interesse c'est la catégorie homotopique des CW-complexes. Du moins d'un point de vue topologique.
Mais la catégorie des CW complexes est compliquée, notamment des qu'on regarder des CW-complexes qui ne sont pas fini ou localement finis.
Et on a besoin de regarder de tels CW-complexes, parce que souvent ce que l'on construit naturellement ne sont pas finis ou localement fini, pense a P^\infty, ou la grassmanienne infinie, ou meme plus generalement les complexes d'Eilenberg Maclane, ou encore plus généralement les BG pour G un groupe "interessant", typiquement BGL, ou BU ou BO, et leurs cousins MGL, MU, MO, qui sont bien sur fondamentaux.

L'idée des ensembles simpliciaux c'est d'avoir une catégorie qui soit aussi riche homotopiquement que les CW complexes mais plus combinatoires. Elle reussit à faire ca. Typiquement tu as une structure de catégorie modèle sur la catégorie des ensembles simpliciaux qui donne une catégorie homotopique équivalente à celle des CW-complexes, mais les cofibrations et fibrations sont assez simples à décrire.

Tu peux redémontrer les axiomes d'eilenberg steenrod, tres facilement sur la catégorie des ensembles simpliciaux, uniquement par des arguments combinatoires et algébriques simples.

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 03-01-19 à 00:23

Je me permet de copier cette réponse de Hatcher qui est un poil plus compétent que moi en topologie algébrique

Allen Hatcher

Simplicial sets and simplicial complexes lie at two ends of a spectrum, with Delta complexes, which were invented by Eilenberg and Zilber under the name "semi-simplicial complexes", lying somewhere in between. Simplicial sets are much more general than simplicial complexes and have the great advantage of allowing quotients and products to be formed without the necessity of subdivision, as is required for simplicial complexes. In this way simplicial sets are like CW complexes, only more combinatorial or categorical. The price to pay for this is that simplicial sets are perhaps less geometric, or at least not as nicely geometric as simplicial complexes. So the choice of which to use may depend in part on how geometric the context is. In some areas simplicial sets are far more natural and useful than simplicial complexes, in others the reverse is true. If one drew a Venn diagram of the people using one or the other structure, the intersection might be very small.

Delta complexes, being something of a compromise, have some of the advantages and disadvantages of each of the other two types of structure. When I wrote my algebraic topology book I had the feeling that Delta complexes had been largely forgotten over the years, so I wanted to re-publicize them, both as a pedagogical tool in introductory algebraic topology courses and as a sort of structure that arises very naturally in many contexts. For example the classifying space of a category is a Delta complex.

Incidentally, I've added 5 pages at the end of the Appendix in the online version of my book going into a little more detail about these various types of simplicial structures. (I owe a debt of thanks to Greg Kuperberg for explaining some of this stuff to me a couple years ago.)

https://mathoverflow.net/questions/6281/definition-of-simplicial-complex

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 03-01-19 à 00:52

Juste une précision quand je dis

Citation :
mais les cofibrations et fibrations sont assez simples à décrire

j'exagère quand meme un peu. Les cofibrations sont tres simplexes, mais les fibrations sont plus compliqués, typiquement les objets fibrans sont les complexes de Kan dont finalement la définition n'est qu'une redite du fait qu'ils sont fibrants si on reflechit un petit peu (ils sont fibrants pour les inclusions de "cornes" ce qui est le minimum qu'on peut attendre d'eux, et ca implique qu'ils sont fibrants tout courts).

Mais c'est quand meme deja un plus par rapport à la catégorie des CW complexes ou meme les cofibrations peuvent etre compliquées, mais la aussi finalement ce qu'on utilise c'est que quand on a une CW-paire (A,X) alors l'inclusion de A dans X est une cofibration, ce qui est facile à prouver mais néanmoins... fondamental.

Posté par
Compotes
re : Application simpliciale 03-01-19 à 11:30

Je croyais que la différence était plus simple que ça, je pensais que les ensembles simpliciaux étaient les ancêtres des complexes simpliciaux.
Mais je n'avais jamais regardé leur définition.
Je vais en rester aux complexes simpliciaux pour l'instant.

Je ne connais pas tout ce dont tu parles, même si des morceaux sont familiers.

J'ai encore quelques questions si ça ne te dérange pas. Tu dis que l'homologie des complexes simpliciaux est facile à calculer, tu parles de l'homologie simpliciale ?
Je sais qu'elle correspond à l'homologie singulière, mais je ne comprend pas pourquoi on s'embête à parler de l'homologie singulière qui est beaucoup plus compliquée, alors que l'homologie simpliciale est simple.
De même pourquoi on s'embête avec l'homologie cellulaire pour les complexes cellulaires ?
Pourquoi on fait pas qu'une seule théorie, une bonne fois pour toute ?
D'ailleurs l'homologie cellulaire est elle bien la même que les autres ?

En fait, je suis un cours que je comprend assez bien ligne à ligne, mais je n'ai aucune vision d'ensemble, et je n'ai pas de profs à qui poser la question.

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 03-01-19 à 11:54

C'est bien le point, l'homologie simpliciale, l'homologie singulière, l'homologie cellulaire, c'est... l'homologie point.

Ces 3 théories te donnent un moyen de calculer l'homologie. Ces moyens sont adaptés au type d'espace que l'on considère. Si tu as un complexe simplicial, il va etre facile de calculer son homologie car il est défini combinatoirement. Ceci se traduit par l'existence du complexe des chaines  simpliciales, mais il calcule l'homologie.

C'est la meme chose pour l'homologie singulière, c'est un complexe qui calcule tout le temps l'homologie pour tous les espaces topologiques pas seulement les "jolis espaces" que sont les CW-complexes ou les complexes simpliciaux. Mais en pratique il est impossible de calculer effectivement l'homologie singulière, les groupes du complexes des chaines singulières sont énormes!! Tu peux eventuellement le faire avec le point. Mais des que tu as un espace plus compliqué, impossible d'utiliser ce complexe.

Par contre ce complexe est très pratique pour prouver les propriétés générales de l'homologie.  Comment montrer l'invariance par homotopie de la cohomologie sur les complexe des cochaines simpliciales? Tres difficile. Comment montrer que la cohomologie ne dépend pas de la triangulation de ton espace choisi? Comment montrer la fonctorialité pour les applications continues? Je ne parle meme pas de Mayer Vietoris ou de l'excision.

Tout ceci est simple à montrer avec l'homologie singulière.

Une façon assez agréable de voir les choses, c'est de dire une théorie homologique c'est un foncteur sur la catégorie des CW-paire qui verifie les axiomes de eilenberg steenrod.
https://en.wikipedia.org/wiki/Eilenberg%E2%80%93Steenrod_axioms
Cette théorie est déterminée par son groupe de coefficients, l'homologie du point.

On prouve qu'une telle théorie existe. C'est le boulot de l'homologie singulière.

Pour des classes d'espaces plus jolis, les CW-complexes ou les complexes simpliciaux, on possède une manière plus simple de calculer la cohomologie, ce sont les complexes cellulaires et simpliciaux.

Enfin on prouve que ces complexes ont bien la meme homologie que celui des chaines singulière.

Pour les CW-complexes (ainsi que les simpliciaux en fait), le plus simple est d'utiliser la suite spectrale donnée par la filtration par le n-squelette. Est ce que ca te dis qqch?
On peut le faire à la main, sinon. Car la suite spectrale est tres simple dans ce cadre là.
Les points clés sont que l'inclusion du n-squelette est une cofibration, que la cohomologie relative est celle d'un bouquet de sphère et donc tu n'as que du H^0 et H^top.

Quel cours/bouquin suis tu?

Posté par
Poncargues
re : Application simpliciale 06-01-19 à 17:12

Si ca t'interesse, j'ai redigé une preuve qui n'utilise pas (enfin pas explicitement) de suites spectrales.
Je peux la poster si tu veux.

Mais je te conseille quand meme d'etudier la preuve classique avec suite spectrale, c'est un bon pretexte pour appréhender ce que c'est et comme c'est un outil de base qui sert tout le temps, autant se familariser avec des que possible.



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