--------L'énoncé-----------------------------------------------------------------------
1)Déterminer (a;b)² sachant: 3a=2b
2)Résoudre dans ² les équations suivantes : (E₁) : 7x=5y   ;   (E₂) : 5(x-1)=2(y-3)
3) Trouver (;)² tel que : 4(-1)=7(+2)   avec :    -2021    et    -3425
--------Mes réponses----------------------------------------------------------------
1) On a les deux implications suivants:

[3a=2b a est divisible par 2] et [2b=3a b est divisible par 3]      (car PGCD(2;3)=1)

Ce qui donne: les solutions de cette équations sont les couples (a;b)=(2k;3k) avec k

Réciproquement: 3(2k)=2(3k). Donc l'ensemble solution est bien: E={(a;b)=(2k;3k)/k}

2) Pour (E₁)
On a PGCD(7;5)=1 alors a est un multiple de 5, b est un multiple de 7.

C-à-d (x;y)=(5k;7k) avec k.

Réciproquement: 7(5k)=5(7k)

D'ou, l'ensemble solution est: S₁={(x;y)=(5k;7k)  /k}

      Pour (E₂)

On a PGCD(5;2)=1 alors (x-1) est divisible par 2 et (y-3) est divisible par 5.

C-à-d (x-1;y-3)=(2k;5k) ce qui donne: (x;y)=(2k+1;5k+3) avec k.

Réciproquement: 5(2k+1-1)=2(5k+3-3).

D'ou l'ensemble solution est: S₂={(2k+1;5k+3) /k}

3) On a PGCD(4;7)=1 alors (en utilisant les memes étapes): (-1;+2)=(7k;4k) avec k.

Par suite: (;)=(7k+1;4k-2) avec k

Puisque est compris entre -20 et 21, alors: -207k+121.

Par conséquent: -3k

Il s'ensuit donc: k{-3;-2;-1;0;1;2}




Or, est compris entre -34 et 25, alors: -344k-225.

Par conséquent: -8k

Il s'enstuit donc: k{-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6}

Donc k {-3;-2;-1;0;1;2}{-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6} alors: k{-3;-2;-1;0;1;2}

D'ou, les solutions de cette équation sont les couples (;)=(7k+1;4k-2) avec k{-3;-2;-1;0;1;2}.

D'autre termes, l'ensemble solution de cette équation est: S={(;)=(7k+1;4k-2) / k} et -3k2}

Ainsi, S={(-20;-14);(-13;-10);(-6;-6);(1;-2);(8;2);(15;6)}.

Réciproquement, on peut remplacer les valeurs de et dans l'équation.