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Application théorème de Hardy

Posté par Profil Ramanujan 24-07-17 à 23:19

Bonjour,

Bonsoir,

On suppose la série \sum a_n absolument convergente.

1/ Montrer que la série \sum_{n \geq1} \frac{a_n x^n}{n!} converge simplement vers f fonction continue sur f.

2/ Montrer que x->f(x)exp(-x) est intégrable sur [0,+infini[ et exprimer \int_{0}^{+ \infty} f(x)e^{-x}dx comme la somme d'une série numérique.

La suite an converge vers 0 donc : \frac{a_n x^n}{n!} = o ( \frac{x^n}{n!})

La série de droite est convergente elle tend vers l'exponentielle de x.
Par contre j'ai un souci en 0 on fait quoi ? Vu que je divise par x...

Aussi comment montrer que f est continue ? Merci

Posté par Profil Ramanujanre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 00:50

Si j'arrive à montrer que le rayon de convergence de la série : \sum_{n \geq1} \frac{a_n x^n}{n!} est infini, toute somme de série entière est continue dans le disque de convergence.

Posté par
luzakre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 09:35

Bonjour !
Si \sum a_n est convergente, la suite est bornée. Donc \Bigl\lvert a_n\dfrac{x^n}{n!}\Bigr\rvert\leqslant \mu\dfrac{|x|^n}{n!} et le rayon de convergence est infini.

Pour la 2. il suffit d'utiliser un théorème d'intégration terme à terme pour \sum u_n quand on sait que la série \sum\int_0^{+\infty}|u_n| est convergente.

Posté par
etniopalre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 09:39

On a donc  n |an| < +

Pour tout réel r on a : n |an| rn/n! < + , puisque la suite n rn/n! tend vers 0 donc est bornée .

Le rayon de convergence de la série formelle n anXn/n!  est donc infini ce qui assure que f : x   n anxn/n!   est C .

Pour l'intégrabilité de g  : x f(x)e-x  sur + :

  |g| n|an|bn  où , pour tout n > 0  bn := 0+ xne-x/n! est facilement calculable .

NB : Quel est ce  " théorème de Hardy " du titre de ton message ?

Posté par Profil Ramanujanre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 11:49

luzak @ 25-07-2017 à 09:35

Bonjour !
Si \sum a_n est convergente, la suite est bornée. Donc \Bigl\lvert a_n\dfrac{x^n}{n!}\Bigr\rvert\leqslant \mu\dfrac{|x|^n}{n!} et le rayon de convergence est infini.

Pour la 2. il suffit d'utiliser un théorème d'intégration terme à terme pour \sum u_n quand on sait que la série \sum\int_0^{+\infty}|u_n| est convergente.


J'ai compris la majoration, mais j'ai pas compris comment vous trouvez que le rayon de convergence est infini

Posté par Profil Ramanujanre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 11:55

etniopal @ 25-07-2017 à 09:39

On a donc  n |an| < +

Pour tout réel r on a : n |an| rn/n! < + , puisque la suite n rn/n! tend vers 0 donc est bornée .

Le rayon de convergence de la série formelle n anXn/n!  est donc infini ce qui assure que f : x   n anxn/n!   est C .

Pour l'intégrabilité de g  : x f(x)e-x  sur + :

  |g| n|an|bn  où , pour tout n > 0  bn := 0+ xne-x/n! est facilement calculable .

NB : Quel est ce  " théorème de Hardy " du titre de ton message ?
etniopal @ 25-07-2017 à 09:39

On a donc  n |an| < +

Pour tout réel r on a : n |an| rn/n! < + , puisque la suite n rn/n! tend vers 0 donc est bornée .

Le rayon de convergence de la série formelle n anXn/n!  est donc infini ce qui assure que f : x   n anxn/n!   est C .

Pour l'intégrabilité de g  : x f(x)e-x  sur + :

  |g| n|an|bn  où , pour tout n > 0  bn := 0+ xne-x/n! est facilement calculable .

NB : Quel est ce  " théorème de Hardy " du titre de ton message ?


Oula ça va trop vite pour moi, j'ai vraiment rien compris.

Posté par Profil Ramanujanre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 12:12

Ce que j'ai fait à mon petit niveau :

Montrer que la série \sum_{n \geq1} \frac{a_n x^n}{n!} converge simplement vers f fonction continue sur f.

La suite an converge vers 0 donc : \frac{a_n x^n}{n!} = o ( \frac{x^n}{n!})

La série de droite est convergente elle tend vers l'exponentielle de x.
Par contre j'ai un souci en 0 on fait quoi ? Vu que je divise par x...

la série des an converge absolument, elle est donc convergente donc \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l <1

Posons : u_n = \frac{a_n}{n!}

Alors : \frac{u_{n+1}}{u_n} =\frac{a_{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{a_n} =\frac{a_{n+1}}{a_n} \frac{1}{n+1}

Donc : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 0 = \frac{1}{R}

Enfin : R= + \infty

Une série entière est continue sur son rayon de convergence donc la série est continue sur R.

Posté par
NicoTialre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 12:46

Citation :
Une série est continue sur son rayon de convergence

Attention, cela peut paraître être du chipotage mais cela est faux : une série entière est continue sur tout COMPACT de son disque de convergence. En aucun cas sur son rayon de convergence .

Posté par
luzakre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 15:51

Ramanujan @ 25-07-2017 à 12:12

...
la série des an converge absolument, elle est donc convergente donc \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l <1
...

Ça ne va pas du tout : la règle de d'Alembert est une condition suffisante, pas nécessaire...
Et avec la règle de Cauchy, çà ne va pas mieux !

Tu demandais comment ma majoration permet de trouver le rayon de convergence ? Très simple : puis la série majorante est convergente pour tout x il est en de même pour la série figurant à gauche et si une série entière est convergente pour toute valeur de la variable, que peut bien être son rayon de convergence ?

Posté par Profil Ramanujanre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 17:33

NicoTial @ 25-07-2017 à 12:46

Citation :
Une série est continue sur son rayon de convergence

Attention, cela peut paraître être du chipotage mais cela est faux : une série entière est continue sur tout COMPACT de son disque de convergence. En aucun cas sur son rayon de convergence .


Si son rayon de convergence vaut + l'infini elle est continue sur R mais ]-infini,+infini[ n'est pas fermé borné non ?

Bizarre

Posté par Profil Ramanujanre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 17:39

luzak @ 25-07-2017 à 15:51

Ramanujan @ 25-07-2017 à 12:12

...
la série des an converge absolument, elle est donc convergente donc \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l <1
...

Ça ne va pas du tout : la règle de d'Alembert est une condition suffisante, pas nécessaire...
Et avec la règle de Cauchy, çà ne va pas mieux !

Tu demandais comment ma majoration permet de trouver le rayon de convergence ? Très simple : puis la série majorante est convergente pour tout x il est en de même pour la série figurant à gauche et si une série entière est convergente pour toute valeur de la variable, que peut bien être son rayon de convergence ?


+ l'infini

Pour la question 2 j'ai réussi en faisant l'interversion somme intégrale car :

Si on pose : g_n (x) = f_n (x) e^{-x}

gn est continue sur R+, gn est intégrable sur R+ car :

\int_{0}^{+\infty} |g_n (x)| dx = |an| < + \infty car (an) est bornée

La série de gn converge vers : g(x)=f(x) e^{-x}

\int_{0}^{+\infty} g(x)dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty}  f_n(x)e^{-x}dx = \sum_{n=0}^{+\infty}  a_n

Posté par
NicoTialre : Application théorème de Hardy 25-07-17 à 18:04

Ramanujan @ 25-07-2017 à 17:33

NicoTial @ 25-07-2017 à 12:46

Citation :
Une série est continue sur son rayon de convergence

Attention, cela peut paraître être du chipotage mais cela est faux : une série entière est continue sur tout COMPACT de son disque de convergence. En aucun cas sur son rayon de convergence .


Si son rayon de convergence vaut + l'infini elle est continue sur R mais ]-infini,+infini[ n'est pas fermé borné non ?

Bizarre

Mea culpa, je me suis emballé : je rectifie : la série est bien continue sur son disque de convergence... c'est la convergence uniforme qui est sur tout compact de de ce disque.


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