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Application theoreme du rang
bonjour
je bloque sur un exo qui a l'air tout simple, mais bon la je bloque.
Soient E,F,G trois espaces vectoriels de dimension finie, et f et g des applicztions lineaires telles que f:E
F et g:FG
1°)je dois demontrer que dim(im(f)
ker(g))=rg(f)-rg(g°f)
J'ai applique la formule de grassman
dim(im(f)+ker(g))=rg(f)+dim(kerg)-dim(im(f)ker(g))
et donc je dois prouver que -rg(g°f)=dim(kerg)-dim(im(f)+ker(g)).
J'ai ecrit dim E=rg(g°f)+dim(ker(g°f))= rg(f) + dim(ker(f)) mais apres c'est le vide total, je vois pas du tout le lien. Un petit coup de pouce svp.
Bonsoir bncjo,
tu peux commencer par observer que (Im f) (Ker g) = f(Ker(gof)), puis considérer la restriction f' de f à Ker(gof).
Tigweg
euh non pas vraiment. Je ne vois pas ce que tu entends par considérer la restriction f' de f à Ker(gof).
Eh bien Ker(gof) est un sev de E, donc la restriction de f à ce sev existe non?
Applique le théorème du rang à cette restriction f', et écris ce que tu trouves!
Ton dernier terme n'a pas de sens, c'est quoi Ker(Ker(gof))?
On a dim(Im f Ker g)+dim(Ker f')=dim(Ker(gof))
puisque Im(f')=f(Ker(gof))=Im fKer g.
Non, Ker f' est l'ensemble des x de E qui sont dans Ker(gof) et tels que f'(x)=0 (donc tels que f(x)=0).
C'est donc Ker(gof)Ker f.
A présent remplace puis applique Grassmann pour faire apparaître dim(Ker(gof)+Ker f).
Tu as mis un moins???
Sans le moins c'est vrai, il suffit pour cela de prouver que Ker f est inclus dans Ker(gof), ce qui est trivial.
Ainsi Ker(gof)+Ker f n'est autre que Ker(gof).
De là, tu peux conclure!
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