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Niveau maths sup
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application trace

Posté par lucie (invité) 24-04-04 à 15:40

1) montrr que l'application trace, notée Tr, est une forme linéaire
de l'ensemble des matrices de format (n, n) dans
  et que :

pour toutes matrices A et B, Tr(AB)= Tr(BA)

2)  réciproquement, soit f une forme linéaire vérifiant pour tout (A,B)
matrices, f(AB)=f(BA)
montrer que f vect(Tr), c'est à dire : il existe
a  tel que f= a*Tr

3) trouver l'ensemble des matrice A vérifiant :

      pour tout X matrice, Tr(AX)=0

Posté par vador (invité)re : application trace 24-04-04 à 17:37

1)pour montrer que tr(AB)=tr(BA) il faut revenir a la def d'une
matrice (avec le signe somme), effectuer le produit AB ainsi que
BA et réarranger les signes sommes ( il y en a only 2 si mes souvenirs
sont corrects, 1 pour les lignes et un pour les colonnes)
fais attention a ne pas t'emmeler avec les indices c tout ce ke je
te conseille ( d'ailleurs j'avais découvert la fonction
tr lors d'une colle , ne l'ayant jamais vue auparavant,
et j'avoue m'en etre sorti...)
3)=>systèmes

Posté par Guillaume (invité)re : application trace 24-04-04 à 19:06

pour la 3)
tu prend X=(1,0,0,0...0)
tu as tr(AX)=0 et tr(XA)=0
tu fais ca pour tous les X de la base canonique:
X=(0,1,0,,,,0)
X=(0,0,1,0,...,0)
etc
a chaque fois tu aura des coefficient de A nuls....
a mon avis seule la matrice nulle convient

A+

Posté par Guillaume (invité)re : application trace 25-04-04 à 00:04

Pardon, mon poste precedent est erroné: faut pas prendre les vecteurs,
mais les matrices canoniques !!!
les matrices ou il y a un seul 1 dans les coefficients et des 0 partout
ailleurs

Posté par nico (invité)re : application trace 26-04-04 à 20:54

A=(aij) B=(bij)

alors M= AB =   aikbkj          
                            0 k n


et     N = BA = bikakj
                         0 k n


or Tr(M) = mii
                    0 i n

ie Tr(M) =     aikbki
                    0 i,k n

par commutativité dans le corps K on a :

Tr(M) =     bkiaik
                    0 i,k n

or Tr(N) =    bikaki
                    0 i,k n


(en chipotant: par bijectivité de l'application        (i,k)  
(k,i)  ..... mais attention, on travaille sur les indices muets,
la matrice considérées n'est pas forcément symétrique )

on retrouve
Tr(M) = Tr(N)

sauf erreur de ma part mais tu me le pardonneras j'espere car c'est
super relou d'utiliser les symboles....



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