1)pour montrer que tr(AB)=tr(BA) il faut revenir a la def d'une
matrice (avec le signe somme), effectuer le produit AB ainsi que
BA et réarranger les signes sommes ( il y en a only 2 si mes souvenirs
sont corrects, 1 pour les lignes et un pour les colonnes)
fais attention a ne pas t'emmeler avec les indices c tout ce ke je
te conseille ( d'ailleurs j'avais découvert la fonction
tr lors d'une colle , ne l'ayant jamais vue auparavant,
et j'avoue m'en etre sorti...)
3)=>systèmes

pour la 3)
tu prend X=(1,0,0,0...0)
tu as tr(AX)=0 et tr(XA)=0
tu fais ca pour tous les X de la base canonique:
X=(0,1,0,,,,0)
X=(0,0,1,0,...,0)
etc
a chaque fois tu aura des coefficient de A nuls....
a mon avis seule la matrice nulle convient

A+

Pardon, mon poste precedent est erroné: faut pas prendre les vecteurs,
mais les matrices canoniques !!!
les matrices ou il y a un seul 1 dans les coefficients et des 0 partout
ailleurs

A=(a_ij) B=(b_ij)

alors M= AB =   a_ikb_kj          
                            0 k n


et     N = BA = b_ika_kj
                         0 k n


or Tr(M) = m_ii
                    0 i n

ie Tr(M) =     a_ikb_ki
                    0 i,k n

par commutativité dans le corps K on a :

Tr(M) =     b_kia_ik
                    0 i,k n

or Tr(N) =    b_ika_ki
                    0 i,k n


(en chipotant: par bijectivité de l'application        (i,k)  
(k,i)  ..... mais attention, on travaille sur les indices muets,
la matrice considérées n'est pas forcément symétrique )

on retrouve
Tr(M) = Tr(N)

sauf erreur de ma part mais tu me le pardonneras j'espere car c'est
super relou d'utiliser les symboles....