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Applications
Bonsoir à tous!
Je galère sur un DM de maths et le cours de notre prof n'est vraiment pas clair sur cette partie... Bref voici l'énoncé de l'exo :
Les apllications suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives?
(1) f : R2 -> R2
(x ; y) -> (xy ; x+y+1)
(2) f : R -> R2 R est l'ensemble des réels
x -> (x+1 ; x-1)
(3) f : R3 -> R2
(x ; y ; z) -> (x+2y ; 3x -z)
(4) f : R2 -> R2
(x ; y) -> (x +2y ; x-y)
Tout d'abord, je n'arrive pas à montrer (je veux dire, la façon de démontrer) l'injection et la surjection (puisque la bijection est quand l'application est injective et surjective).
J'ai réussi pour la première application à montrer qu'elle n'est pas injective (par contre exemple) :
on a x'=xy et y'=x+y+1
si on prend (x1;y1)=(0;1) alors x'=0 et y'=2
si on prend (x2;y2)=(1;0) alors x'=0 et y'=2
Donc on obtient que f(x1;y1)=f(x2;y2) mais (x1;y1) différent de (x2;y2)
Est ce juste? Comment prouver que l'apllication est surjective (si elle l'est)?
De plus, le changement du nombre de variables me perturbe (quand on passe de 3 à 2 par exemple dans le (3))... comment faire?
Salut,
pour montrer qu'une application n'est pas surjective; tu peux montrer qu'il y a des éléments de l'ensemble d'arrivée qui n'ont pas d'antécédent.
Pour la première, on recherche un couple (a;b) qui n'a pas d'antécédent par f...
Supposons . Alors :
.
Reste plus qu'à trouver a et b de manière à ce que ce polynôme ne s'annule jamais dans .
. Donc
implique
.
et
convient.
Donc n'a pas d'antécédent par f. Donc f n'est pas surjective.
à+
Ok merci! Je rectifie simplement : c'est x+y+1 et non x+y-1 et cela donne =(1-b)2-4a ce qui ne change pas le reste...
Par contre je ne vois pas comment prouver que la (2) est injective ou surjective... Mon problème viens de là : trouver un contre exemple, il en suffit d'un (encore faut-il le trouver...) mais dans le cas général?
Salut,
pour la 2, il est clair qu'elle n'est pas surjective.
En effet, tout couple solution est de la forme où
.
Donc par exemple n'a pas d'antécédent.
Pour montrer l'injectivité, tu peux revenir à la définition...
Supposons qu'il existe et
tels que
.
Cela implique que et donc
.
Donc f est injective.
Je t'en prie.
Donc avec ça, on voit assez bien qu'on ne peut pas construire un couple avec des composantes indépendantes l'une de l'autre.
Donc qu'on ne peut pas "aller dans tout entier".
Re-salut!
J'ai encore un petit problème (décidément!). En fait, j'ai compris l'injectivité. Mais il me reste encore à montrer que la (3) et la (4) sont surjectives... quelle en est la méthode?
Re,
montrer la surjectivité est un peu plus compliqué que montrer la non-surjectivité 
mais c'est faisable.
Pour montrer qu'une application est surjective, il faut montrer que tout l'ensemble d'arrivée est atteint...
Pour la 3) (et la 4)), tu peux donc prendre un couple de quelconque et montrer qu'il a toujours au moins un antécédent par f.
Soit . Cherchons un antécédent de
par f.
On cherche donc un triplet de
, tel que
. Il faut donc exprimer x, y et z en fonction de a et b.
Soit .
On a .
Tous les antécédents de sont de la forme
où
.
Un antécédent de est donc par exemple
.
Tout couple de
a au moins un antécédent par f.
Donc f est surjective.
Je te laisse faire la 4).
à+
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