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Applications et relations
Bonjour !!
Voila j'ai un sousi pour répondre a cette question et je n'ai pas vraiment d'idée :
on a E un ensemble infini et ordonné et on suppose que toute partie non vide de E possède un max et un min et je n'arrive pas a montrer qu'on peut définir par récurence une suite ( Xn , n
) avec x(0) = Min (E) et x(n+1)= Min ( E\ { x(0) , ....x(n)} et ensuite prouver que cette suite est croissant ( x(n) < x(n+1) ) [ce que l'on sent bien ...]
Merçi d'avance.
Bonjour,
E est non vide donc x(0)=Min E existe, ce qui initialise la récurrence.
Supposons x(0),...,x(n) construits.
Alors comme E est infini, l
Alors comme E est infini,
la partie E\{x(0),....,x(n)} est non vide donc elle admet un minimum, qu'on peut appeler x(n+1).
Ceci permet de construire la suite x(n) par récurrence avec la condition demandée.
Pour la croissance, elle se fait encore par récurrence:
x(0)=Min E et x(1) est dans E donc
Si à l'entier n on a
,
supposons par l'absurde que \{
}) vérifie
.
Soit {
}.
k existe bien car cet ensemble contient n, donc est non vide.
Par ailleurs k est non nul car x(0)x(n+1).
Alors ,
ce qui contrdit la définition de x(k) en tant que plus petit élément de E\{x(0);...;x(k-1)}.
Ainsi on a encore:
,
ce qui prouve l'hérédité:ainsi x(n) est croissante.
daccord , vous avez donc définis une propriété H(n) : x(0) 
.... x(n)
Ok Ok , je pense avoir compris , merçi pour votre aide .
Je t'en prie(On peut se tutoyer?).
Oui, j'ai procédé par récurrence forte.
Mais j'avoue qu'en effet, c'était plus difficile de sentir ce qui se passait que de l'écrire!
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