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applications lineaires
bonjour
on note{ e1,e2,e2,e4} la base canonique de R4 et {&1 &2 &3} celle de R3on considere l'application lineaire f de R4 dans R3 par
f(e1)=&1+2&2+&3
f(e2)=f(e4)=-&1-2&2+&3
f(e3)=2&1+4&2+3&3
1)Determiner une base du noyau de f;en deduire le rang de f
2)Determiner une base e l'image de f.
Montrer que les vecteurs u=(1,-2,0) , v=(1,-3,0) w=(0,0,1) forment une base de R3.
2) Soit f l'application linéaire de R3 dans lui-même défini par :
f(u)=(1,0,1) f(v)=(1,1,2) f(w)=(2,1,3).
a) calculer f(x, y, z) et en déduire une base de f(R3) et le rang de f.
b) déterminer le noyau de f
Soit x un élément de R4
on a :
x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4
On a donc
f(x)=(x1-x2+2x3-x4)&1 + (2x1-2x2+4x3-2x4)&2 + (x1+x2+3x3+x4)&3
Si x appartient au noyau de f, on a f(x)=0.
Cela se traduit par le système :
x1-x2+2x3-x4=0
2x1-2x2+4x3-2x4=0
x1+x2+3x3+x4=0
Tu remarques que la deuxième égalité est égale à deux fois la première.
Tu peux donc déterminer une base de deux vecteurs du noyau de f.
Ensuite :
dim (Ker f)+ rg(f)=dim E = 4
Donc rg(f)=2
A toi de poursuivre le raisonnement.
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