Salut
pour le a) il faut vérifier que f est linéaire et est à valeur dans E.
b)P appartient à Ker f si et seulement si AP est un multiple de B
c) il faut et il suffit que A et B soit premier entre eux.

Bonjour
Rassure toi je sais ce qu'est un endomorphisme, mais mon probleme est lorsque je fais f(₁P₁+₂P₂)= en fait je ne vois pas comment le réecrire en faisant apparaitre un seul polynome.
Pour la suite je comprend ce que tu dis mais cela dois certainement se demontrer, non ??

Salut
pour le a il suffit de voir que f(aP)=af(P)
or si AP=QB+R, alors A(aP)=aQB+aR donc le reste est bien aR=af(P)
idem si P1 et P2 sont tes deux polynomes
A(P1+P2)=AP1+AP2 donc le reste de f(P1+P2)=f(P1)+f(P2)
En effet AP1=Q1B+R1 et AP2=Q2B+R2
doncA(P1+P2)=(Q1+Q2)B+R1+R2, et degré de R1+R2<n donc pas de problème.
Pour le b) il n'y a rien à dire, j'ai juste écris ce que signifiai apppartenir au noyau de f, cad que le reste de la division par B de AP était nul.
Pour le c) Il est clair que la condition que j'ai donné est suffisante puisque si ils sont premier le seul polynome tel que AP soit divisible par P est le polynome nul car B est de degré n.
Elle est nécessaire car si pgcd(A,B)=S
alors B=S*T avec T dans E
Et donc T est dans le noyau de f puisque AT est divisible par B=S*T

Merci a nouveau mais je ne comprend pas bien pourquoi l'application est linéaire, il faut verifier que f(1P1+2P2)=1f(P1)+2f(P2) mais je n'y parviens pas.

Est ce que tu as compris que j'avais démontré que f(aP1)=af(P1) et que f(P1+P2)=f(P1)+f(P2)
si oui le problème est reglé car cela revient au même de démontrer ce que tu dis ou ce que je dis.
Sinon tu peux le voir comme cela supposons R1=f'P1) et R2=f(P2)
cela veut dire que AP1=Q1B+R1 et AP=Q2B+R2
ainsi A(aP1+bP2)=aAP1+bAP2=a(Q1B+R1)+b(Q2B+R2)=(aQ1+bQ2)B+aR1+bR2
donc f(aP1+bP2)=aR1+bR2=af(P1)+bf(P2)
si tu n'as pas compris n'hésite pas.