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Niveau maths sup
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applications lineaires

Posté par elektra (invité) 20-03-05 à 23:18

Bonsoir!

J'ai ce devoir à rendre pour mardi (aie, je sais je poste ce sujet tard, j'avais des problemes de connexion internet)...j'ai honte de m'y prendre si tard, pardon!

Voila, il y une premiere partie avec l'étude d'un cas particulier que j'ai reussi (enfin, je crois) (etude classique d'un endomorphisme f, avec pour but:determiner la nouvelle matrice de f)

Mais il y une seconde partie ensuite, et là j'ai un peu du mal à m'y mettre, je ne vois pas comment m'y prendre.

Si vous pouviez m'aider, ca serait formidable!

Voila

Soit E un espace vectoriel reel de dim finie notée n (n>=2) et f appartenant à L(E)
On pose f^0=Id(E), f^1=f, f^2=f(rond)f, f^3=f(rond)f(rond)f...



a)faut montrer que Ker(f^k) inclu dans ker(f^(k+1))


Je pense bien qu'il faut démontrer cela par recurrence (??)
En gros c'est montrer que Ker(Id(E)) incluse dans Ker(f), puis ensuite je ne vois pas trop comment montrer l'inclusion de Ker(fofo...of) dans Ker(fofofo...ofof)

Quels renseignements peut on savoir sur l'application f?



b) on note ak la dimension de Ker(f)
1-montrer que la suite (ak) est une suite d'entiers, croissante et majorée puis qu'elle est stationnaire
2-en deduire que l'ensemble defini par A={k e IN/ak=a(K+1)} admet un plus petit element noté p
3-montrer que k<p implique ker(f^k) différent de ker (f^(k+1))
4- montrer que k>p implique ker (f^k)=ker(f^p)
5-montrer que E=ker(f^k)+im(f^p)   (avec le + de supplementaire)
6-que vaut p pour un automorphisme?



1-je pense qu'il faut se servir de la question precedente, mais après, cela ne parle plus pour moi
2-ok
3- et 4- quels renseignements peut on trouver simplement pour realiser cette demonstration?
5-en fait il faut montrer qu'ils sont supplementaires, c'est bien ca?avec les propriétés ou la definition


Je vous remercie par avance enormement pour les reponses que vous pourrez m'apporter, ca m'aidera beaucoup!

Bon courage!

Bonne soirée

Marie

Posté par
carrocel
re : applications lineaires 21-03-05 à 08:56

Salut !


J'ai pas encore regarde ttes les questions (je manque un peu de temps) mais vite fait pour la question 1)
(Ker(f^0)=KEr (Id)={0} est bien inclu ds Ker (f) (c'est tjs le cas car Ker(f) est un ss ev))
Ensuite l'idee est de dire que si u appartient à Ker(f^k)
f^k+1(u)=f(f^k(u))=f(0)=0 car f et lineaire dc u appartient aussi a Ker(f^k+1)

Pour le reste j'ai pas regarde...

A plus

Posté par
carrocel
re : applications lineaires 21-03-05 à 09:12

Ca y'est ..

Vite fait :

b 1), tu viens d emontrer qu'il y avait les inclusions

Ker Id inclus ds Kerf inclus ds Ker f²....
Donc on a Dim Ker Id <= Dim Ker f <=....
dc (an) croissante positive et majoréé par dim(E)
Pour stationnaire, on sent bien qu'elle va l'etre ms pour le montrer pas d'idee qui me vienne

3) Si k<p on a forcement ak different de ak+1 sinon cela contredit le fait que p soit plus petit element de A dc qui dit dimension differentes, dit espaces differents.

5) Pour une appli lin il me semble qu'on a tjs E = Im f + Ker f (en somme directe)
Ici f^p est lineaire dc E = Ker f^p+Im f^p et tu viens de montrer que Kerf^k = Ker f^p donc...

Voila pr ce que j'ai pu vite voir...

A plus

Posté par elektra (invité)merci 22-03-05 à 12:28

merci pour ces quelques elements de reponse, c'est deja très gentil de m'avoir repondu!

bonne journée

marie



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