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Applications linéaires

Posté par
refaw 10-05-22 à 13:28

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire cet exercice :

Soient E et F des K-espaces vectoriels de dimension finie, m = dim E, n = dim F , et L(E, F ) le K-espace vectoriel des applications linéaires
E → F.
Démontrer que L(E, F ) est effectivement un K-espace vectoriel et en calculer la dimension en fonction de m et n.

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 10-05-22 à 13:39

salut

c'est pourtant un exercice d'application directe des définitions ...

si f, g et k sont des applications linéaires et k un scalaire les applications f + g et kf sont elles linéaires ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 10-05-22 à 13:42

Bonjour,

Oui je sais, j'ai du mal. Je ne vois pas comment l'appliquer ici.
Merci d'avance pour ton aide.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 10-05-22 à 13:57

ça veut dire quoi que f est linéaire ? que g est linéaire ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 10-05-22 à 14:02

f (λu + μv ) = λf (u ) + μf (v )

Et je fais quoi avec?

Là on me demande de prouver que c'est un espace vectoriel.

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 10-05-22 à 16:36

Bonjour
comment montres-tu qu'une partie d'un ev est un ssev ? Vois-tu un ev de référence susceptible de contenir L(E,F) ?

Posté par
etniopalre : Applications linéaires 10-05-22 à 18:11

    Pourquoi ne pas utiliser une bijection "convenable" de L(E,F) sur  Mm,n(K) ?

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 10-05-22 à 18:58

f est linéaire donc f(au + bv) = af(u) + bf(v)

g est linéaire donc g(au + bv) = ag(u) + bg(v)

donc (pf + qg)(au + bv) = (1)  pf(au + bv) + qg(au + bv) = ...

(1) par définition de f + g et de kf quand f et g sont des fonctions ...

mais plus simplement : (pf + qg)(u) =(1) pf(u) + qg(u)

Posté par
refawre : Applications linéaires 14-05-22 à 20:08

Merci carpediem, j'ai tout compris. Top!!!!
Donc là je viens de prouver que c'est K-espace vectoriel.

Et pour les dimensions, comment je fais?
Quelqu'un a une idée?
Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 14-05-22 à 20:57

à partir de bases (de E et F) c'est immédiat ...

Posté par
refawre : Applications linéaires 15-05-22 à 14:54

C'est-à-dire, ça fait n + m?

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 15-05-22 à 16:09

tu es loin du compte et il serait préférable de justifier pour comprendre ...

Posté par
refawre : Applications linéaires 15-05-22 à 20:17

Comment ça?
Je ne comprends pas.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 15-05-22 à 20:35

si (e_i) et (f_i) sont des bases respectives de E et F ...

comment définir l'image f(e_i) des m vecteurs e_i ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 15-05-22 à 20:38

Quand tu dis e_i, c'est un vecteur?

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 15-05-22 à 22:53

Bonsoir
quand on parle de base, on a quel genre de choses, dans une base ? des vecteurs ? des nombres ? autre chose ?

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 15-05-22 à 23:00

Bonsoir,

Une façon un peu plus difficile est de considérer :

une base de E : \mathcal{B}=\{e_1,\cdots,e_n\} et une base de F : \mathcal{F}=\{\epsilon_1,\cdots,\epsilon_p\} ainsi que les applications linéaires u__{i,j} avec (i,j)\in [1,p]\times[1,n] telles que u_{i,j}(e_j)=\epsilon_i

Montrer que pour tout f\in \mathcal{L}(E,F)  :

\forall x\in E:\; f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\lambda_{i,j}u_{i,j}(x)

dit autrement la famille \{u_{i,j}\}_{(i,j)\in [1,p]\times[1,n]} engendre \mathcal{L}(E,F)

et ensuite montrer que cette famille est libre ,i.e

\sum_{\substack{1\le j\le n&1\le i\le p}}\lambda_{i,j}u_{i,j}(x)=0, \forall x\in E \implies \forall (i,j)\in [1,p]\times[1,n],\;\lambda_{i,j}=0

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 15-05-22 à 23:07

la dimension d'un espace vectoriel est égale au nombre d'éléments d'une de ses bases.

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 15-05-22 à 23:45

Bonsoir
mousse, ou je deviens miro (ça se peut bien ...) ou tes applications u_{i,j} ne sont pas complètement définies ? il faut l'image de chaque vecteur d'une base, pour définir une application linéaire, là tu ne donnes l'image que d'un seul des vecteurs d'une base ?

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 15-05-22 à 23:51

Bonsoir lafol, tu as raison, merci pour la correction

oui, tu as raison, on a u_{i,j}(e_j)=\epsilon_i et pour tout k\ne j \; u_{i,j}(e_k)=0_F

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 10:01

Bonjour,

Voici ce que j'ai écrit pour démontrer que c'est un sous espace vectoriel :
(f+g)(au+bv)
= f(au+bv) + g(au+bv) par définition de f + g
= af(u) + bf(v) + ag(u) + bg(v) par linéarité de f et g
= a(f(u) + g(u)) + b(f(v)+g(v)) par factorisation
= a(f+g)(u) + b(f+g)(v) par définition de f + g
f+g est stable pour l'addition


(cf)(au+bv)
= cf(au+bv) par défintion de cf
= c(af(u)+bf(v) par linéarité de f
= (ca)f(u)+(cb)f(v)
= a(cf(u))+b(cf(v))
= a(cf)(u)+b(cf)(v)
cf est linéaire

C'est bon?

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 16-05-22 à 11:51

Salut
Il semble que ce soit correct à part que \mathcal{L}(E,F) doit être non vide

On peut faire plus simple.
1) L'application nulle est un élément de \mathcal{L}(E,F)
2) Soit f,g\in\mathcal{L}(E,F) et \lambda\in \K \\ et montrons que f+\lambda g\in \mathcal{L}(E,F)

Pour montrer que f+\lambda g\in \mathcal{L}(E,F), on prend u,v\in E et \alpha \in \K et on montre que (f+\lambda g)(u+\alpha v)=(f+\lambda g)(u)+\alpha (f+\lambda g)(v)

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 14:42

MERCI BEAUCOUP à TOUS!
Je crois que c'est bon...

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 16-05-22 à 17:38

il est dommage que mousse42 ait donné la réponse à ma question de 20h35 ... en plus compliqué ...



refaw @ 15-05-2022 à 20:38

Quand tu dis e_i, c'est un vecteur?
peut-être bbien lire (et relire) chaque msg :
carpediem @ 15-05-2022 à 20:35

si (e_i) et (f_i) sont des bases respectives de E et F ...

comment définir l'image f(e_i) des m vecteurs e_i ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 17:41

Il me semble que : f(e_i)=f_i
Mais cela m'indique quoi sur la dimension en fonction de m et n?

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 16-05-22 à 17:47

non ...

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 22:04

J'ai peut-être mal compris le cours.
Peux-tu me dire et m'expliquer? Merci.

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 16-05-22 à 22:34

Bonsoir
il y a un truc qui me gène : tu annonces avoir montré que L(E,F) est un sous-espace vectoriel, mais tu ne dis pas de quel espace vectoriel il serait un sous-espace ? ta preuve devrait commencer par L(E,F) ce fameux gros espace...


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