Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Applications linéaires

Posté par
refaw 10-05-22 à 13:28

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire cet exercice :

Soient E et F des K-espaces vectoriels de dimension finie, m = dim E, n = dim F , et L(E, F ) le K-espace vectoriel des applications linéaires
E → F.
Démontrer que L(E, F ) est effectivement un K-espace vectoriel et en calculer la dimension en fonction de m et n.

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 10-05-22 à 13:39

salut

c'est pourtant un exercice d'application directe des définitions ...

si f, g et k sont des applications linéaires et k un scalaire les applications f + g et kf sont elles linéaires ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 10-05-22 à 13:42

Bonjour,

Oui je sais, j'ai du mal. Je ne vois pas comment l'appliquer ici.
Merci d'avance pour ton aide.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 10-05-22 à 13:57

ça veut dire quoi que f est linéaire ? que g est linéaire ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 10-05-22 à 14:02

f (λu + μv ) = λf (u ) + μf (v )

Et je fais quoi avec?

Là on me demande de prouver que c'est un espace vectoriel.

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 10-05-22 à 16:36

Bonjour
comment montres-tu qu'une partie d'un ev est un ssev ? Vois-tu un ev de référence susceptible de contenir L(E,F) ?

Posté par
etniopalre : Applications linéaires 10-05-22 à 18:11

    Pourquoi ne pas utiliser une bijection "convenable" de L(E,F) sur  Mm,n(K) ?

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 10-05-22 à 18:58

f est linéaire donc f(au + bv) = af(u) + bf(v)

g est linéaire donc g(au + bv) = ag(u) + bg(v)

donc (pf + qg)(au + bv) = (1)  pf(au + bv) + qg(au + bv) = ...

(1) par définition de f + g et de kf quand f et g sont des fonctions ...

mais plus simplement : (pf + qg)(u) =(1) pf(u) + qg(u)

Posté par
refawre : Applications linéaires 14-05-22 à 20:08

Merci carpediem, j'ai tout compris. Top!!!!
Donc là je viens de prouver que c'est K-espace vectoriel.

Et pour les dimensions, comment je fais?
Quelqu'un a une idée?
Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 14-05-22 à 20:57

à partir de bases (de E et F) c'est immédiat ...

Posté par
refawre : Applications linéaires 15-05-22 à 14:54

C'est-à-dire, ça fait n + m?

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 15-05-22 à 16:09

tu es loin du compte et il serait préférable de justifier pour comprendre ...

Posté par
refawre : Applications linéaires 15-05-22 à 20:17

Comment ça?
Je ne comprends pas.

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 15-05-22 à 20:35

si (e_i) et (f_i) sont des bases respectives de E et F ...

comment définir l'image f(e_i) des m vecteurs e_i ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 15-05-22 à 20:38

Quand tu dis e_i, c'est un vecteur?

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 15-05-22 à 22:53

Bonsoir
quand on parle de base, on a quel genre de choses, dans une base ? des vecteurs ? des nombres ? autre chose ?

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 15-05-22 à 23:00

Bonsoir,

Une façon un peu plus difficile est de considérer :

une base de E : \mathcal{B}=\{e_1,\cdots,e_n\} et une base de F : \mathcal{F}=\{\epsilon_1,\cdots,\epsilon_p\} ainsi que les applications linéaires u__{i,j} avec (i,j)\in [1,p]\times[1,n] telles que u_{i,j}(e_j)=\epsilon_i

Montrer que pour tout f\in \mathcal{L}(E,F)  :

\forall x\in E:\; f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\lambda_{i,j}u_{i,j}(x)

dit autrement la famille \{u_{i,j}\}_{(i,j)\in [1,p]\times[1,n]} engendre \mathcal{L}(E,F)

et ensuite montrer que cette famille est libre ,i.e

\sum_{\substack{1\le j\le n&1\le i\le p}}\lambda_{i,j}u_{i,j}(x)=0, \forall x\in E \implies \forall (i,j)\in [1,p]\times[1,n],\;\lambda_{i,j}=0

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 15-05-22 à 23:07

la dimension d'un espace vectoriel est égale au nombre d'éléments d'une de ses bases.

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 15-05-22 à 23:45

Bonsoir
mousse, ou je deviens miro (ça se peut bien ...) ou tes applications u_{i,j} ne sont pas complètement définies ? il faut l'image de chaque vecteur d'une base, pour définir une application linéaire, là tu ne donnes l'image que d'un seul des vecteurs d'une base ?

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 15-05-22 à 23:51

Bonsoir lafol, tu as raison, merci pour la correction

oui, tu as raison, on a u_{i,j}(e_j)=\epsilon_i et pour tout k\ne j \; u_{i,j}(e_k)=0_F

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 10:01

Bonjour,

Voici ce que j'ai écrit pour démontrer que c'est un sous espace vectoriel :
(f+g)(au+bv)
= f(au+bv) + g(au+bv) par définition de f + g
= af(u) + bf(v) + ag(u) + bg(v) par linéarité de f et g
= a(f(u) + g(u)) + b(f(v)+g(v)) par factorisation
= a(f+g)(u) + b(f+g)(v) par définition de f + g
f+g est stable pour l'addition


(cf)(au+bv)
= cf(au+bv) par défintion de cf
= c(af(u)+bf(v) par linéarité de f
= (ca)f(u)+(cb)f(v)
= a(cf(u))+b(cf(v))
= a(cf)(u)+b(cf)(v)
cf est linéaire

C'est bon?

Posté par
mousse42re : Applications linéaires 16-05-22 à 11:51

Salut
Il semble que ce soit correct à part que \mathcal{L}(E,F) doit être non vide

On peut faire plus simple.
1) L'application nulle est un élément de \mathcal{L}(E,F)
2) Soit f,g\in\mathcal{L}(E,F) et \lambda\in \K \\ et montrons que f+\lambda g\in \mathcal{L}(E,F)

Pour montrer que f+\lambda g\in \mathcal{L}(E,F), on prend u,v\in E et \alpha \in \K et on montre que (f+\lambda g)(u+\alpha v)=(f+\lambda g)(u)+\alpha (f+\lambda g)(v)

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 14:42

MERCI BEAUCOUP à TOUS!
Je crois que c'est bon...

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 16-05-22 à 17:38

il est dommage que mousse42 ait donné la réponse à ma question de 20h35 ... en plus compliqué ...



refaw @ 15-05-2022 à 20:38

Quand tu dis e_i, c'est un vecteur?
peut-être bbien lire (et relire) chaque msg :
carpediem @ 15-05-2022 à 20:35

si (e_i) et (f_i) sont des bases respectives de E et F ...

comment définir l'image f(e_i) des m vecteurs e_i ?

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 17:41

Il me semble que : f(e_i)=f_i
Mais cela m'indique quoi sur la dimension en fonction de m et n?

Posté par
carpediemre : Applications linéaires 16-05-22 à 17:47

non ...

Posté par
refawre : Applications linéaires 16-05-22 à 22:04

J'ai peut-être mal compris le cours.
Peux-tu me dire et m'expliquer? Merci.

Posté par
lafol Moderateurre : Applications linéaires 16-05-22 à 22:34

Bonsoir
il y a un truc qui me gène : tu annonces avoir montré que L(E,F) est un sous-espace vectoriel, mais tu ne dis pas de quel espace vectoriel il serait un sous-espace ? ta preuve devrait commencer par L(E,F) ce fameux gros espace...


Rechercher
Menu
Espace membre
10 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1722 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !