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Applications linéaires continues

Posté par
ped15 17-05-20 à 16:25

Bonjour,

\mathcal{L}(E,F) désigne l'espace vectoriel des applications linéaires continues de E  dans  F.  On munit \mathcal{L}(E,F)  de la norme définie pour  f\in \mathcal{L}(E,F)  par :

\left \| f \right \|=\sup_{x \in E\backslash\left \{ 0 \right \}}\frac{\left \| f(x)) \right \|_{F}}{\left \| x \right \|_{E}}

Pour trois espaces vectoriels normés  E,  F  et  G  avec  f\in \mathcal{L}(E,F)  et  g\in \mathcal{L}(F,G)   j'ai montré que :  

\left\| g\circ f \right\|\le \left\| f \right\|\left\| g \right\|

Soit f\in \mathcal{L}(E,E).  pour tout  n\ge 1  je cherche à montrer que  \left\| {{f}^{n}} \right\|\le {{\left\| f \right\|}^{n}}  en utilisant le fait que  \left\| g\circ f \right\|\le \left\| f \right\|\left\| g \right\| .

Si quelqu'un a une idée. Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Applications linéaires continues 17-05-20 à 16:28

Bonjour

Mais tu l'as déjà presque démontré. Dans ||g\circ f||\leq ||f||\ ||g|| prends g=f^{n-1}
Tu eux aussi le faire par récurrence, mais je ne crois pas que ce soit utile!

Posté par
Foxdevilre : Applications linéaires continues 17-05-20 à 16:29

Bonjour,

Citation :
je cherche à montrer que  \left\| {{f}^{n}} \right\|\le {{\left\| f \right\|}^{n}}  en utilisant le fait que  \left\| g\circ f \right\|\le \left\| f \right\|\left\| g \right\|
Récurrence.....

Posté par
ped15re : Applications linéaires continues 17-05-20 à 16:49

Bonjour Camélia , ça donne ceci :

\left\| f^{n-1}\circ f \right\|\le \left\| f \right\|\left\| f^{n-1} \right\|

Posté par
ped15re : Applications linéaires continues 17-05-20 à 17:07

Je ne comprends pas pourquoi  f\circ f=f^2 ?

Posté par
GBZMre : Applications linéaires continues 17-05-20 à 17:49

Bonjour,

Qu'est-ce que la multiplication dans \mathcal L(E,E) ?

Posté par
ped15re : Applications linéaires continues 17-05-20 à 18:08

Boinjour GBZM ,

En fait je ne sais pas, si tu m'expliques ça sera gentil de ta part.

Posté par
GBZMre : Applications linéaires continues 17-05-20 à 18:32

Ben la multiplication, c'est la composition des endomorphismes ! (multiplication non commutative)
Si f\in \mathcal L(E,E) et g\in \mathcal L(E,E), alors fg=f\circg : x\mapsto f(g(x)).
Regarde bien ton cours. Cela m'étonnerait très fort que ça n'y soit pas.

Posté par
ped15re : Applications linéaires continues 17-05-20 à 18:40


ped15 Non, il n'y a pas, dans d'autres livres il est utilisé comme notation.

Camélia  Je viens de le trouver par récurrence et c'est très utile.

Posté par
Camélia Correcteurre : Applications linéaires continues 18-05-20 à 14:38

OK. Mais il est sûrement dit quelque part que dans l'anneau \{{\cal L}(E,F) la deuxième loi interne est la composition des applications linéaires!

Posté par
GBZMre : Applications linéaires continues 18-05-20 à 19:05

Bonjour Camelia. Tu voulais sans doute écrire \mathcal L(E,E).


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