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applications R² dans R², bijection, image reciproque
Bonsoir a tous,
J'ai un exercice que j'ai avancé mais j'aurais besoin de votre aide pour le terminer.
Voici l'exercice :
a) Determiner le domaine de definition et l'image de la fonction f :
²
definie par
f(x,y)=2xy/x²+y² f admet-elle une limite en 0?
b)Calculer foi et foj ou i et j sont les symetries definies par i(x,y) = (y,x) et j(x,y) = (-x,-y).f est elle injective?
c)Memes questions pour g : :² definie par g(x,y) = x+y/1+xy
Montrer que g admet toutefois des inverses partiels au sens ou t=g(x,y) ssi x=g(t,-y) ou y=g(t-x)
Pour a) j'ai fait le domaine de def et je vais essayer de calculer toute seule la limite avant de vous le demander mais comment montrer son image ?
Pour b) j'ai calculé foi et foj j'ai trouvé :
foi = 2yx/y²+x²
foj = f
Si cela est bien juste je n'arrive pas a montrer qu'elles sont injective.
Pour c)je ne sais pas comment montrer que g admet des inverses partiels
Merci a ceux qui auront le courage de lire tout ca et de me repondre.
Salut floo00
a)Choisis un réel z quelconque et prouve qu'il est dans l'image de f, autrement dit qu'il existe un couple (x,y) d'image z par f.
Indication:
si z=0 c'est facile.
Sinon, fixe y (ou x!) à une valeur simple (par exemple y=1) et montre qu'on peut trouver x
b) Il n'y a pas injectivité puisqu'il existe plein de couples (x,y) différents ayant la même image!
Donne simplement deux de ces couples.
Tes calculs sont justes.
pour g(x,y) = x+y/1+xy je trouve que la limite en (0,0) c'est 0 est ce que quelqu'un pourrait me dire si c'est juste merci beaucoup!
Voila j'ai fini a peu pres l'exercice mais on m'a toujours pas expliqué pour la c) ce que c'est que des inverses partiels je ne trouve pas de cours sur le sujet, merci
Salut floo00
Pour la c) il n'y a pas de cours à avoir.
Tu pars de l'équation et tu veux montrer qu'on peut toujours isoler x ou y.
L'équation équivaut à et aussi à
selon ce qu'on factorise.
D'où la discussion suivante:
1)Si alors
2)Si alors
(sinon
et
d'où
d'où
avec
réel, ce qui est impossible) , par conséquent d'après la deuxième formule:
On a donc bien prouvé ce qu'il fallait.
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