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Approximation cos(epsilon)
Bonjour,
dans le cours de physique apparait l'approximation cos(ε)= 1- ε^2/2,
j'essaye de la démontrer avec le calcul différentiel à une variable, mais je bloque, voilà ce que j'ai fait :
Je pose f(x)=cos(x+ε)
df(xo)=-sin(xo+ε).dx donc df(o)=-sin(ε).dx
D'autre part:
∂f = f(xo+ε)-f(xo)
=cos(2ε)-cos(ε)
Pour ε très petit on a l'approximation : ∂f= df en xo=0
Donc: -sin(ε).ε = cos(2ε)-cos(ε)
Donc cos(ε)=cos(2ε)+ε.sin(ε)
cos(ε)=1-2sin^2(ε)+ε.sin(ε)
.....Après je ne voit pas comment faire, sûrement une manip' de trigo mais je bloque
Es ce que on peut arriver au résultat sans utiliser les formules de Taylor ?
Merci d'avance pour vôtre aide !
sin(ε)
tu ne t'en sortiras pas si facilement, car cette approximation du second ordre (un terme en x²) fait intervenir au mieux le théorème de Taylor, ou plus rustique mais plus compliqué, la dérivée seconde.
cos(x) = 1- 2sin2(x/2) or quand x est proche de 0, sin(x) est proche de x .
cos(x) n'est donc pas loin de 1-x2/2
D'accord, lolo271, comment arrive tu à cos(x)=1-2sin^2(x/2) ?
Moi j'ai cos(x)=1-sin^2(x)+xsin(x)
soit cos(x)=1-2x^2+2x ??
Vraiment là, je suis perdue ... Peut-on me dire où est mon erreur ?
Faut il poser f(x)=cos(x) ou f(x)=cos(x+ε) ?
J'ai essayer de plusieurs façon dont une qui s'approche du résultat:
f(x)=cos(x+ε)
df=-ε . sin(ε)
∂f =cos(2ε)-cos(ε)
On a l'approximation:
cos(2ε)-cos(ε)=-ε . sin(ε)
1-2sin^2 -cos(ε)=- ε^2
Donc: cos(ε)=1-ε^2
Comment faire pour avoir ε^2/2 svp ??
cos(a+b) = cosa cos b - sin a sin b . formule usuelle , tu prends a=b=x/2 et utilises cos2+ sin2 = 1 (Pythagore)
Merci, en fait:
cos(ε)=1-2sin^2(ε/2)
et on arrive au résultat grâce à l'approximation sin^2(ε)=ε^2
Seulement on utilise pas de différentielle en faisant ça, ce n'est pas possible de résoudre l'équation avec les différentielles ?
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