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Niveau Licence Maths 1e ann
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Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

Posté par
tsirinfan
28-09-14 à 21:51

Bonsoir tout le monde,

je sollicite un peu d'aide quant à un exercice de biostatistiques portant sur le programme de PACES.

Voici l'énoncé :

"L'incidence des cancers pancréatiques est estimée à 20/100 000 adultes de 25 à 45 ans. La survenue de 2
cas de cancers la même année chez des adultes d'un même quartier de 3500 adultes a déclenché une
enquête épidémiologique.

La probabilité de 2 cas de cancer en une année est de : (1 bonne réponse)
A. 0,16
B. 0,12
C. 0,139
D. 0,058
E. 0,062."

Pas de soucis majeurs quant à la résolution de cette première partie, une application bête et méchante de l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ; et je finis sur 0.12.

Deuxième partie :

"En raison de trop grande variabilité, les études ne concernent plus que les 15 dernières années. On relève
10 cancers.

Parmi les questions suivantes, laquelle(lesquelles) est(sont) exacte(s) ? :
A. La variable « nombre de cancers pancréatiques » suit une loi binomiale d'espérance 10,5.
B. La variable X suit une loi poisson d'écart type 10,5.
C. Dans l'étude ci-dessus, la probabilité d'observer 10 cancers en 15 ans est 0,12.
D. La probabilité d'observer au moins 1 cancer en 5 ans est 0,03.
E. La probabilité d'observer au moins 1 cancer en 5 ans est 0,97."

Et je dois bien avouer que j'ai un mal fou à mettre en relief cette nouvelle situation, blocage dès le premier item donc...

Voilà, la correction dont je dispose ne me permet pas de pallier à mon problème, je requiers donc l'éclairage d'une personne plus avisée.

Cordialement.

Posté par
LeDino
re : Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson 29-09-14 à 00:01

Citation :
Pas de soucis majeurs quant à la résolution de cette première partie, une application bête et méchante de l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ; et je finis sur 0.12.
Appliquer de façon "bête et méchante" est rarement une bonne idée .
0.12 est bien la réponse attendue...
Néanmoins, pourquoi appliquer la loi de poisson alors que la binomiale est parfaitement applicable ?
P[ X=2 / B(n=3500;p=0.0002) ] ~ 12.2%

Cela étant dit, l'énoncé aurait été mieux inspiré de demander la probabilité P(X>1) qui aurait conduit à :
P[ X>1 / B(n=3500;p=0.0002) ] = 1 - P(X<2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) ~ 15.6%

En effet, si on cru bon de déclencher l'étude épidémiologique pour 2 cas sur 3500, on l'aurait a fortiori déclenchée pour 3 cas, ou 4, ou plus...
16% est donc une meilleure indication du risque d'avoir pris cette précaution à tort.

Citation :
A. La variable « nombre de cancers pancréatiques » suit une loi binomiale d'espérance 10,5.
B. La variable X suit une loi poisson d'écart type 10,5.
C. Dans l'étude ci-dessus, la probabilité d'observer 10 cancers en 15 ans est 0,12.
D. La probabilité d'observer au moins 1 cancer en 5 ans est 0,03.
E. La probabilité d'observer au moins 1 cancer en 5 ans est 0,97."

A. On raisonne comme pour la question 1 mais au lieu d'avoir 3500 événements de probabilité p=0.0002
... on en a désormais 15 fois plus (car on se place sur 15 ans)
Donc X suit B(n=3500*15;p=0.0002)
Or que vaut E(X) pour une binomiale ?  Qu'en conclure ?

B. Comme n est très grand, on peut effectivement approcher la binomiale par une loi de poisson de même espérance (E(X)=10.5).
Dans ce cas V(X) = E(X). Et donc l'écart-type vaut ... Qu'en conclure ?

C. P(X=10 / B(n=15*3500;p=0.0002)) = ...  Qu'en conclure ?  

D. P(X>1 / B(n=5*3500;p=0.0002)) = 1 - P(X=0) = ...   Qu'en conclure ?  
E. P(X>1 / B(n=5*3500;p=0.0002)) = 1 - P(X=0) = ...   Qu'en conclure ?  

Posté par
tsirinfan
re : Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson 29-09-14 à 01:22

C'est vrai que l'expression est un peu maladroite, petit clin d'œil aux "machines à QCM" si populaires au concours...

L'approximation par une loi de Poisson me semblait pertinente au vu des conditions fixées par le support du cours ; je cite :

"Si une variable X∼B (n ;p) avec p ≤ 3% et n ≥ 100 alors X suivra approximativement une loi de Poisson de
paramètre λ = E(X) = n × p ≈ n × p × q et on notera X ≈ P(λ)."

Néanmoins, je vous remercie pour les liens évoqués à travers votre approche, c'est toujours agréable de savoir où véritablement aller

En ce qui concerne la deuxième partie, grâce à votre aide, j'ai pu rétablir un contexte exploitable :

- L'item B est selon la correction, nécessairement faux, étant donné que la loi de Poisson ne représente qu'une approximation ; même si pour appuyer ce fait, l'écart-type vaut environ 3 et non 10,5.

Merci encore d'avoir consacré du temps à ce sujet.

Cordialement.

Posté par
LeDino
re : Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson 29-09-14 à 02:02

Citation :
L'approximation par une loi de Poisson me semblait pertinente...
L'approximation de la Binomiale par la Poisson n'est pas fausse en soi.
Mais je t'ai interpelé pour deux raisons :

1. A quoi bon approcher ce qu'on peut calculer de façon exacte avec la même facilité ?
Les calculatrices fournissent la loi binomiale... Autant les utiliser. Non ?

2. Par curiosité, et parce que c'est simple à faire, et parce que ça permet d'apprendre...
... il est toujours bon dans un tel cas, de faire les deux calculs. Au passage ça permet de vérifier l'ampleur de l'approximation.

Citation :
L'item B est selon la correction, nécessairement faux, étant donné que la loi de Poisson ne représente qu'une approximation ; même si pour appuyer ce fait, l'écart-type vaut environ 3 et non 10,5
Oui c'est bien ça .
Ou autrement dit, B est fausse au sens strict (car elle suit une Binomiale), mais également au sens large, car même en acceptant l'approximation par une loi de Poisson, l'écart-type annoncé est FAUX (il vaut effectivement racine de 10.5 qui vaut un peu plus de 3.

Tu as pu conclure pour le reste ?



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