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Approximation ln 2 par intégrale

Posté par
loic3544
17-05-24 à 12:43

Bonjour,

Le but de l'exercice est d'approcher ln 2.
1. Trouver f telle que : ln(2) = 12 f(x) dx
Pas de problème (1/x)

2. Calculer une valeur approchée par la méthode des trapèzes à 5 sous-intervalles
a priori, ça va (j'ai trouvé 1753/2520 à la main, ce qui colle plutôt bien)

3. Calculer f''(x) et déterminer K tel que :
       |f''(x)|K, x[1;2]

Je trouve f''=2/x3
donc K=2

4. En déduire un encadrement de ln 2

C'est là que je bloque. Je trouve des trucs, mais qui sont hyper larges. J'arrive pas à voir à quoi raccrocher cette inégalité (j'ai regardé du côté des accroissements finis ou des tangentes (à cause de cette dérivé seconde), mais je ne trouve rien de satisfaisant.

Je me disais que quelqu'un aurait peut-être une idée.

Posté par
Ulmiere
re : Approximation ln 2 par intégrale 17-05-24 à 13:22

Un encadrement, sans plus de précisions, ça ne veut rien dire. -10^{10^{100}}\leqslant \ln2 < 10^{10^{100}} est un encadrement de \ln 2 mais il ne sert à rien. Il y a à mon avis deux possibilités pour ce qu'on te demande

Vu la valeur absolue, je crois comprendre qu'on te demande d'intégrer l'égalité de Taylor-Lagrange

Posté par
loic3544
re : Approximation ln 2 par intégrale 24-05-24 à 09:56

Après quelques recherches, je pense que la majoration de la dérivé seconde donne accès à la majoration par la méthode des trapèzes. La première approx et la marge d'erreur donnant l'encadrement.



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