Bonjour

Tu peux le faire de façon informatique, avec une boucle "tant que |S-L|>10^-4", faire ..

Ca, c'est si on veut le rang exact à partir duquel on l'approche au dix-millième près.

Oui, c'est ce que j'ai fait (à peu de chose près)... le résultat était n=5000... mais il faut que je le prouve formellement, c'est ça le problème !
en plus je viens de m'apercevoir que mon explication dans mon premier message est légèrement bancale... mais je crois toujours en ma conjecture, j'ai juste du mal à l'expliquer avec des mots...

Bonsoir.

Je pense que dans ta démonstration, tu as regroupé inconsciemment les termes 2 par 2.
Dans le calcul numérique, il faut faire attention aux erreurs qui s'accumulent. Calculer la dite somme à 10^{-4} près nécessite qu'on calcule chaque terme à 10^{-5} près.

Bonjour.
Omission de balises dans mon précédent message et disons erreur de frappe
Dans le calcul numérique, il faut faire attention aux erreurs qui s'accumulent. Calculer la dite somme à près nécessite qu'on calcule chaque terme à près (il y avait termes).

En pratique, pour avoir une valeur approchée de S, si tu prends la moyenne de S(n) et de S(n+1), elle converge bien plus vite vers la limite S.
50 itérations suffisent pour une valeur à 0,0001 près.

Bonsoir Epsilon,

Pour revenir à ta question initiale, ce que tu as observé, c'est que la somme partielle S(n) converge en pratique 2 fois plus vite que le dit la théorie.

Ce résultat te semble "intuitif", et de fait il peut l'être en effet, parce que la série alterne sa progression autour de sa valeur limite S "de manière un peu symétrique". Donc si la limite S est "bien centrée" entre S(n) et S(n+1), alors en effet, l'écart entre S et les bornes S(n) et S(n+1) sera de la moitié de la distance entre S(n) et S(n+1) qui se trouve être précisément 1/(n+1).

Oui mais attention : rien dans l'énoncé ne te permet d'affirmer ce résultat.
Il se pourrait en théorie, que S soit "plus proche" de S(2n) que de S(2n+1), ou l'inverse.

Donc en définitive, ce que tu as observé et conjecturé, qui se trouve ici être exact, pourrait n'être qu'un coup de bol. Autrement dit, il peut tout à fait exister des séries alternées respectant l'inégalité donnée dans l'énoncé |S-Sn| < 1/n  ... mais ne convergeant pas deux fois plus vite.

Si tu y réfléchis bien, dire que S est "plutôt centrée" entre S(n) et S(n+1), ce qui est une reformulation de ta conjecture, revient aussi à dire grosso modo que :

(1).  La moyenne  [S(n) + S(n+1)]/2  est une estimation de S à l'ordre 2, bien meilleure que S(n) ou S(n+1), valables à l'ordre 1 seulement.
Autrement dit, il suffit de moyenner S(100) et S(101) pour approcher S à 1/10000.

(2).  S = - Ln(2) - 1/(2n) + o(n²)
Cette égalité n'est qu'une transformation de la précédente.

La deuxième affirmation peut se prouver...
Par exemple en écrivant le développement de la série harmonique :  
Sh = Ln(n) + C + 1/(2n) + o(n²)      :: (avec C = constante d'Euler)

Puis en écrivant S(n) comme la somme des termes paires moins la somme des termes impairs...
... et en remarquant que la somme des termes pairs est la moitié de la somme harmonique.
En éliminant la somme des termes impairs, on arrive alors à prouver l'égalité (2).

Mais je doute qu'on en attende autant sur cet exercice .

Oula c'est compliqué...

On est d'accord, ma série c'est la somme des termes pairs moins la somme des termes impairs, et la somme des termes pairs c'est la moitié de la série harmonique...
Mais alors,
On a :
(somme des termes impairs)=(série harmonique)-(somme des termes pairs)=(série harmonique)-1/2*(série harmonique)=1/2*(série harmonique)=(somme des termes pairs)

=>(ma série)=(somme des termes pairs)-(somme des termes impairs)=0... comment arrive-t-on à -ln(2) ?

Ta remarque est judicieuse.

En fait il faut écrire rigoureusement les sommes partielles et non les sommes à l'infini, car puisque Si et Sp divergent, on ne peut écrire la différence des sommes à l'infini.

Je vérifie ce que j'ai fait (j'ai perdu mes notes...) et je te dis ce qu'il en est.

Cela étant dit, indépendamment de la démonstration, as-tu compris le fait que l'hypothèse que tu as faite (limite de la somme, "centrée" au milieu des deux sommes partielles) est équivalente à la mienne (la moyenne de deux termes consécutifs donne une approximation à l'ordre 2, bien meilleure que celle annoncée en 1/n ?

Et as-tu compris que ce que tu as observé n'est pas systématique et ne peut pas se démontrer d'après les seules propriété données dans l'énoncé.

>as-tu compris le fait que l'hypothèse que tu as faite (limite de la somme, "centrée" au milieu des deux sommes partielles) est équivalente à la mienne (la moyenne de deux termes consécutifs donne une approximation à l'ordre 2, bien meilleure que celle annoncée en 1/n ?

Euh... intuitivement oui, parce que S est centrée. Si ça n'était pas le cas ça ne marcherait plus (Si S est extrêmement proche de Sn et extrêmement loin de Sn+1 alors mieux vaut directement prendre Sn comme approximation plutôt que la moyenne des 2.

>Et as-tu compris que ce que tu as observé n'est pas systématique...

Je veux bien croire que ça n'est pas systématique, bien qu'une suite "loin" de Sn+1 et "proche" de Sn de manière non négligeable ne me vient pas directement à l'esprit...

>...et ne peut pas se démontrer d'après les seules propriété données dans l'énoncé.

Le cas général ne peut peut-être pas se démontrer, certes, mais pour cette série, ça peut se démontrer puisque vous venez de le faire (même si je vois pas comment aboutir à votre équation (2)).

salut



or la somme des a_n converge donc les sommes des inverses des impairs et des inverses des pairs sont de même nature ...

en l'occurrence divergentes .... et tu écris en gros = - (1/2) ... ce qui n'a pas de sens ....