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Niveau autre
arctangente
Posté par robby3
bonsoir à tous j'ais un petit souci avec un exercice:
arctan(x)+arctan(2x)=pi/4
1)sans faire de calculs,dire si cette equation possede au moins une solution,au plus une solution ou exactement une solution(ds R).
2)Resoudre cette equation dans R
pour la deuxieme question je sais juste que arctan(a)+arctan(b)=arctan((a+b)(1-ab)) si ab<1
=pi/2 sign a si ab=1
=arctan((a+b)(1-ab))+pi*sign a si ab>1
je suppose donc que la reponse a la deuxieme question depend de la position de x dans R.
Merci d'avance de votre aide.
Bonsoir robby
1)Remarque que la fonction est croissante continue sur
.
2) Je me trompe peut-être mais n'aurait-on pas plutôt
Kaiser
ahh ok j'ais compris,merci Kaiser,c'est vraie que c'est https://www.ilemaths.net/sujet-arctangente-73398.html
arctangente (forum ilemaths)
désolé je voulu juste dire que le resultat de la deuxieme question était bien celle donné par Kaiser.
bonjour à tous, j'ai fini l'exerice enfin je crois mais il y a un petit probleme que je vous soumet:
pour la premiere question, comme la fonction définie par Kaiser est continue sur R par somme de fonction continue sur R,on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)=pi/4 appartient à R donc il existe x appartenant à R tel que f(x)=pi/4.L'equation de départ a donc au moins une solution.De plus comme cette fonction f: x->arctan(x)+arctan(2x) est continue mais aussi strictement croissante sur R,on peut utiliser le théorème de la bijestion réciproque: f réalise donc une bijection de R dans ]-pi;pi[ et comme pi/4 appartient à ]-pi;pi[, il existe un unique x appartenant à R tel que f(x)=pi/4.(je ne suis pa sur de l'intervalle d'arrivée,je sais juste que arctan est la bijestion de R ds ]-pi/2;pi/2[).
pour la deuxieme question, pour résoudre l'équation,je tombe a chaque fois sur l'équation 2x^2+3x-1=0 qui admet 2 solutions d'ou mon probleme puisque je ne devrait en trouver qu'une seule d'aprés le raisonnment précédent.
Merci de m'aider a trouver mon erreur.
Bonjour robby3
Pour la première question, je suis d'accord avec toi.
Pour la deuxième question, n'oublie pas que tu n'as pas raisonné par équivalence, et donc il n'y a aucune contradiction.
Remarque que f est impaire et donc que f(x) est positif si et seulement si x positif (car f est strictement croissante).
Kaiser
salut Kaiser,je remarque bien que f est impaire,que f est positive ssi x positif mais ca sert à quoi? Cela nous donne seulement l'indication que x>0 donc que 2x>0 et donc par la que le epsilon défini par Nicolas_75 est égale a 1 d'ou l'équation artan(3x/(1-2x^2))=-3pi/4 qui nous donne encore (il me semble) 2x^2+3x-1=0 et donc 2 solutions.
Je ne vois pas a quoi sert le fait que f est positive ssi x est positif??
Merci de m'expliquer stp. 
En fait, je faisais allusion à ton équation du second degré.
En la résolvant, tu t'aperçois que l'une des solutions est strictement négative et que l'autre est strictement positive : il faudra choisir celle-ci.
En effet, comme , ta solution est strictement positive.
Kaiser
ahh ouais ok d'accord, merci Kaiser, moué je pensais plus du tout a ça.
Merci beaucoup de ton aide et a une prochaine fois j'éspere.
